$AB = AC = 7$, $BC = 4$ である二等辺三角形 $ABC$ の重心を $G$ とするとき、線分 $AG$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$AB = AC = 7$, $BC = 4$ である二等辺三角形 $ABC$ の重心を $G$ とするとき、線分 $AG$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形 $ABC$ の頂点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線を $AD$ とする。三角形 $ABC$ は二等辺三角形なので、$AD$ は $BC$ の中点 $D$ を通る。したがって、$BD = CD = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2$ である。

次に、直角三角形 $ABD$ において、ピタゴラスの定理より

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 2^2 = 7^2$

$AD^2 + 4 = 49$

$AD^2 = 45$

$AD = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

重心 $G$ は中線 $AD$ を $2:1$ に内分する点なので、

$AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5}$