三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=3$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、$AI:ID$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=3$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。このとき、$AI:ID$を求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用して線分BDの長さを求める。次に、三角形の内角の二等分線に関する定理を利用して$AI:ID$を求める。

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 6:3 = 2:1$である。

したがって、$BD = \frac{2}{2+1} BC = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}$である。

(2) 次に、三角形の内角の二等分線に関する定理を利用する。

$AI:ID = (AB+AC):BD$

$AI:ID = (6+3):\frac{10}{3} = 9:\frac{10}{3} = 27:10$

3. 最終的な答え

$AI:ID = 27:10$