直線 $l: 2x - y - 4 = 0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求め、さらに点 $C(3, 5)$ と直線 $l$ 上の点 $P$ に対して、$AP + PC$ が最小になるときの点 $P$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: 2x - y - 4 = 0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求め、さらに点 $C(3, 5)$ と直線 $l$ 上の点 $P$ に対して、$AP + PC$ が最小になるときの点 $P$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点A(1,3)と直線lに関して対称な点Bの座標を求める。

点Bの座標を$(x, y)$とすると、線分ABの中点$(\frac{x+1}{2}, \frac{y+3}{2})$は直線l上にあるので、

$2(\frac{x+1}{2}) - (\frac{y+3}{2}) - 4 = 0$

$2(x+1) - (y+3) - 8 = 0$

$2x + 2 - y - 3 - 8 = 0$

$2x - y - 9 = 0$

また、直線ABは直線lと垂直なので、直線ABの傾きは$-\frac{1}{2}$となる。

$\frac{y-3}{x-1} = -\frac{1}{2}$

$2(y-3) = -(x-1)$

$2y - 6 = -x + 1$

$x + 2y - 7 = 0$

連立方程式

$2x - y - 9 = 0$

$x + 2y - 7 = 0$

を解く。

$x = 7 - 2y$を$2x - y - 9 = 0$に代入すると、

$2(7 - 2y) - y - 9 = 0$

$14 - 4y - y - 9 = 0$

$5 - 5y = 0$

$y = 1$

$x = 7 - 2(1) = 5$

したがって、点Bの座標は$(5, 1)$である。

(2) AP + PCが最小になる時の点Pの座標を求める。

点A(1,3)の直線lに関する対称点B(5,1)を求めたので、AP = BP。

したがって、AP + PC = BP + PCが最小になる点Pは、点Bと点Cを結ぶ直線と直線lとの交点である。

直線BCの方程式を求める。

直線BCの傾きは $\frac{5-1}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$

直線BCの方程式は $y - 1 = -2(x - 5)$

$y - 1 = -2x + 10$

$2x + y - 11 = 0$

直線l: $2x - y - 4 = 0$と直線BC: $2x + y - 11 = 0$の交点を求める。

$2x - y - 4 = 0$

$2x + y - 11 = 0$

2式を足すと $4x - 15 = 0$

$x = \frac{15}{4}$

$y = 2x - 4 = 2(\frac{15}{4}) - 4 = \frac{15}{2} - \frac{8}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{15}{4}, \frac{7}{2})$である。

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(5, 1)$

点Pの座標は $(\frac{15}{4}, \frac{7}{2})$