3直線 $x - 3y = -5$, $4x + 3y = -5$, $2x - y = 5$ で作られる三角形の面積を求めます。

1. 問題の内容

3直線 $x - 3y = -5$, $4x + 3y = -5$, $2x - y = 5$ で作られる三角形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、3つの直線の交点を求めます。これらの交点が三角形の頂点となります。

(1) $x - 3y = -5$ と $4x + 3y = -5$ の交点:

2つの式を足し合わせると、$5x = -10$ より、$x = -2$。

これを $x - 3y = -5$ に代入すると、$-2 - 3y = -5$ より、$3y = 3$ なので、$y = 1$。

よって、交点は $(-2, 1)$。

(2) $x - 3y = -5$ と $2x - y = 5$ の交点:

$x = 3y - 5$ を $2x - y = 5$ に代入すると、$2(3y - 5) - y = 5$ より、$6y - 10 - y = 5$、$5y = 15$ なので、$y = 3$。

$x = 3y - 5$ に $y = 3$ を代入すると、$x = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$。

よって、交点は $(4, 3)$。

(3) $4x + 3y = -5$ と $2x - y = 5$ の交点:

$y = 2x - 5$ を $4x + 3y = -5$ に代入すると、$4x + 3(2x - 5) = -5$ より、$4x + 6x - 15 = -5$、$10x = 10$ なので、$x = 1$。

$y = 2x - 5$ に $x = 1$ を代入すると、$y = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3$。

よって、交点は $(1, -3)$。

したがって、三角形の頂点は $(-2, 1)$, $(4, 3)$, $(1, -3)$ です。

次に、これらの3点を頂点とする三角形の面積を計算します。面積を求める公式として、以下の式が使えます。

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

ここに、$(x_1, y_1) = (-2, 1)$, $(x_2, y_2) = (4, 3)$, $(x_3, y_3) = (1, -3)$ を代入します。

$S = \frac{1}{2} |(-2)(3 - (-3)) + (4)(-3 - 1) + (1)(1 - 3)|$

$S = \frac{1}{2} |(-2)(6) + (4)(-4) + (1)(-2)|$

$S = \frac{1}{2} |-12 - 16 - 2|$

$S = \frac{1}{2} |-30|$

$S = \frac{1}{2} (30) = 15$

3. 最終的な答え

15