ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられており、$|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, $|\vec{b} - \vec{a}| = 6$ である。以下の問いに答える。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ を求める。 (3) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。 (4) $\triangle OAB$ の外心を $G$ とする。$\overrightarrow{OG} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を満たす実数 $s$, $t$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられており、$|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, $|\vec{b} - \vec{a}| = 6$ である。以下の問いに答える。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ を求める。

(3) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を求める。

(4) $\triangle OAB$ の外心を $G$ とする。$\overrightarrow{OG} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を満たす実数 $s$, $t$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{b} - \vec{a}| = 6$ の両辺を2乗する。

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = 6^2$

$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 36$

$\vec{b} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a} = 36$

$|\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = 36$

$5^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4^2 = 36$

$25 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 16 = 36$

$41 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いる。

$\cos \theta = \frac{\frac{5}{2}}{4 \cdot 5} = \frac{\frac{5}{2}}{20} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

(3) $\triangle OAB$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ で与えられる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{8})^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$S = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{20}{2} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = 10 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{30\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

(4) $OA$ の中点を $M$, $OB$ の中点を $N$ とする。外心 $G$ は $OA$ の垂直二等分線と $OB$ の垂直二等分線の交点である。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ より、$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\vec{b}$ となる。

$\overrightarrow{OG} = s\vec{a} + t\vec{b}$ について、$AG \perp OB$, $BG \perp OA$ であるから、

$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$, $\overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{a} = (s-1)\vec{a} + t\vec{b}$

$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OB} = s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{b} = s\vec{a} + (t-1)\vec{b}$

$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{OB} = ((s-1)\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b} = (s-1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 = (s-1)\frac{5}{2} + t(5^2) = \frac{5}{2}(s-1) + 25t = 0$

$5(s-1) + 50t = 0$

$s - 1 + 10t = 0$

$s = 1 - 10t$

$\overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{OA} = (s\vec{a} + (t-1)\vec{b}) \cdot \vec{a} = s|\vec{a}|^2 + (t-1)(\vec{a} \cdot \vec{b}) = s(4^2) + (t-1)\frac{5}{2} = 16s + \frac{5}{2}(t-1) = 0$

$32s + 5(t-1) = 0$

$32s + 5t - 5 = 0$

$s = 1 - 10t$ を代入

$32(1 - 10t) + 5t - 5 = 0$

$32 - 320t + 5t - 5 = 0$

$27 - 315t = 0$

$315t = 27$

$t = \frac{27}{315} = \frac{3}{35}$

$s = 1 - 10t = 1 - 10(\frac{3}{35}) = 1 - \frac{30}{35} = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{8}$

(3) $S = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

(4) $s = \frac{1}{7}$, $t = \frac{3}{35}$