$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$ 、辺 $OA$ の中点を $M$ とします。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ の比を求めます。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$ 、辺 $OA$ の中点を $M$ とします。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ の比を求めます。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を $\triangle ABM$ と直線 $OL$ に適用します。

$\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{MP}{PA} = 1$

$AL:LB = 2:3$ より $\frac{AL}{LB} = \frac{2}{3}$

$OM = MA$ より $\frac{BO}{OM} = \frac{BO}{MA} = \frac{AO + OB}{MA} = \frac{-OA + OB}{\frac{1}{2}OA} = \frac{-2OA + 2OB}{OA} = 2\frac{-OA + OB}{OA}$

しかし、メネラウスの定理を使う際に、$BO$ は、$BM$の延長線上にある必要があるので、$BO$の向きを逆にする必要があるので、$\frac{BO}{OM}$を$\frac{OM}{OB}$ に変更します。

そして、メネラウスの定理を $\triangle ABM$ と直線 $OL$ に適用すると、

$\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BO}{OM} \cdot \frac{MP}{PA} = 1$ は成り立ちません。

そこで、メネラウスの定理を $\triangle OAL$ と直線 $BM$ に適用します。

$\frac{AM}{MO} \cdot \frac{OB}{BL} \cdot \frac{LP}{PA} = 1$

$AM = MO$ より $\frac{AM}{MO} = 1$

$BL:LA = 3:2$ より $\frac{OB}{BL} = \frac{OB}{\frac{3}{5}AB} = \frac{5}{3}\frac{OB}{AB} = \frac{5}{3}\frac{OB}{-OA+OB}$

ここで, $OP = sOL, \quad BP=tBM$とおく

$OP = s OL = s(\frac{3}{5} OA + \frac{2}{5} OB)$

$OP = OB+t BM = OB+t(\frac{1}{2}OA - OB) = \frac{t}{2} OA + (1-t)OB$

係数比較より,

$\frac{3}{5}s = \frac{t}{2}$

$\frac{2}{5}s = 1-t$

$t = \frac{6}{5}s$

$\frac{2}{5}s = 1-\frac{6}{5}s$

$2s = 5-6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

$t = \frac{6}{5}s = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$

$BP = \frac{3}{4} BM$

$PM = BM - BP = BM - \frac{3}{4} BM = \frac{1}{4}BM$

$BP:PM = \frac{3}{4} BM : \frac{1}{4}BM = 3:1$

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$