ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$について、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$, $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$が与えられている。 (1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$（$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積）を求めよ。 (2) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$について、$|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$, $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$が与えられている。

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$（$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積）を求めよ。

(2) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$の計算

まず、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$を展開する。

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$

問題文より、$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$, $|\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$, $|\vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$であるから、

$7 = 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 3$

これを$\vec{a}\cdot\vec{b}$について解く。

$2\vec{a}\cdot\vec{b} = 1 + 3 - 7 = -3$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = -\frac{3}{2}$

(2) $\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$の計算

内積の定義より、$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$であるから、

$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos\theta = \frac{-\frac{3}{2}}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$より、$\theta = \frac{5}{6}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b} = -\frac{3}{2}$

(2) $\theta = \frac{5}{6}\pi$