次の円の方程式を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点 $(1, 2)$ を通る円 (2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円 (3) 中心が $x$ 軸上にあり、2点 $(3, 5), (-3, 7)$ を通る円 (4) 中心が直線 $y = x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通る円 (5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円

1. 問題の内容

次の円の方程式を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点 $(1, 2)$ を通る円

(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円

(3) 中心が $x$ 軸上にあり、2点 $(3, 5), (-3, 7)$ を通る円

(4) 中心が直線 $y = x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通る円

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円

2. 解き方の手順

(1)

与えられた円の方程式を平方完成して中心を求めます。

$x^2 - 3x + y^2 + 5y = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{4 + 9 + 25}{4} = \frac{38}{4} = \frac{19}{2}$

したがって、中心は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ です。

求める円の方程式は $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = r^2$ の形です。この円が点 $(1, 2)$ を通るので、

$(1 - \frac{3}{2})^2 + (2 + \frac{5}{2})^2 = r^2$

$(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 = r^2$

$\frac{1}{4} + \frac{81}{4} = r^2$

$r^2 = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}$

よって、求める円の方程式は $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$ です。

(2)

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ です。点 $(1, -3)$ に関して対称な点の座標を $(x', y')$ とすると、

$\frac{0 + x'}{2} = 1$, $\frac{0 + y'}{2} = -3$

$x' = 2$, $y' = -6$

したがって、求める円の中心は $(2, -6)$ であり、半径は元の円と同じ 1 です。

求める円の方程式は $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$ です。

(3)

中心が $x$ 軸上にあるので、中心の座標を $(a, 0)$ とします。

2点 $(3, 5)$ と $(-3, 7)$ を通る円の方程式は $(x - a)^2 + y^2 = r^2$ の形です。

$(3 - a)^2 + 5^2 = r^2$

$(-3 - a)^2 + 7^2 = r^2$

$(3 - a)^2 + 25 = (-3 - a)^2 + 49$

$9 - 6a + a^2 + 25 = 9 + 6a + a^2 + 49$

$34 - 6a = 58 + 6a$

$-24 = 12a$

$a = -2$

中心は $(-2, 0)$ です。半径 $r$ は、

$r^2 = (3 - (-2))^2 + 5^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

よって、求める円の方程式は $(x + 2)^2 + y^2 = 50$ です。

(4)

中心が直線 $y = x$ 上にあるので、中心の座標を $(a, a)$ とします。半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通るので、

$(2 - a)^2 + (1 - a)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

$4 - 4a + a^2 + 1 - 2a + a^2 = 13$

$2a^2 - 6a + 5 = 13$

$2a^2 - 6a - 8 = 0$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4$ または $a = -1$

中心は $(4, 4)$ または $(-1, -1)$ です。

したがって、円の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$ または $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$ です。

(5)

点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円なので、中心の座標を $(r, r)$ とします。

円の方程式は $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ です。点 $(1, 2)$ を通るので、

$(1 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1$ または $r = 5$

したがって、円の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

(2) $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$

(3) $(x + 2)^2 + y^2 = 50$

(4) $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$ または $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$

(5) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$