直線 $l: y = 2x$ が与えられている。 (1) 点 $A(5, 0)$ に関して $l$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。 (2) 直線 $3x + y = 15$ に関して $l$ と対称な直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x$ が与えられている。

(1) 点 $A(5, 0)$ に関して $l$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

(2) 直線 $3x + y = 15$ に関して $l$ と対称な直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(5, 0)$ と点 $B(x, y)$ が直線 $l: y = 2x$ に関して対称であるとする。

このとき、線分 $AB$ の中点は直線 $l$ 上にあり、線分 $AB$ は直線 $l$ と垂直である。

線分 $AB$ の中点 $M$ は $\left( \frac{5+x}{2}, \frac{0+y}{2} \right) = \left( \frac{5+x}{2}, \frac{y}{2} \right)$ である。

$M$ は直線 $l$ 上にあるので、

$$\frac{y}{2} = 2 \cdot \frac{5+x}{2}$$

$$y = 2(5+x)$$

$$y = 10 + 2x$$

線分 $AB$ の傾きは $\frac{y-0}{x-5} = \frac{y}{x-5}$ である。

直線 $l$ の傾きは $2$ である。

線分 $AB$ は直線 $l$ と垂直なので、

$$\frac{y}{x-5} \cdot 2 = -1$$

$$2y = -x + 5$$

$$x = 5 - 2y$$

$x = 5 - 2y$ を $y = 10 + 2x$ に代入すると、

$$y = 10 + 2(5 - 2y) = 10 + 10 - 4y$$

$$5y = 20$$

$$y = 4$$

$x = 5 - 2(4) = 5 - 8 = -3$

よって、$B(-3, 4)$

(2) 直線 $3x+y = 15$ 上の点 $(x,y)$ に対して、直線 $l: y = 2x$ に関して対称な点を $(X,Y)$ とする。

$(X,Y)$ を求める。線分を結ぶ直線は、$y=2x$ に垂直なので、傾きは $-\frac{1}{2}$

$$\frac{Y-y}{X-x} = -\frac{1}{2}$$

$$2Y - 2y = -X + x$$

$$x+2y = X+2Y$$

また、線分の中点 $(\frac{x+X}{2}, \frac{y+Y}{2})$ は、$y = 2x$ 上にあるので、

$$\frac{y+Y}{2} = 2 \frac{x+X}{2}$$

$$y+Y = 2(x+X)$$

$$2x-y = Y-2X$$

$x, y$ について解くと、

$x+2y = X+2Y$ より $x=X+2Y-2y$

$2(X+2Y-2y) - y = Y - 2X$

$2X + 4Y - 4y - y = Y - 2X$

$4X + 3Y = 5y$

$y = \frac{4X+3Y}{5}$

$2x - y = Y - 2X$ より $y = 2x -Y + 2X$

$x+2(2x - Y + 2X) = X+2Y$

$x + 4x - 2Y + 4X = X + 2Y$

$5x = -3X + 4Y$

$x = \frac{-3X+4Y}{5}$

$3x + y = 15$ に $x = \frac{-3X+4Y}{5}$ と $y = \frac{4X+3Y}{5}$ を代入すると、

$3 \frac{-3X+4Y}{5} + \frac{4X+3Y}{5} = 15$

$-9X + 12Y + 4X + 3Y = 75$

$-5X + 15Y = 75$

$-X + 3Y = 15$

$X = 3Y - 15$

$3Y - X = 15$

$3y - x = 15$

$-x + 3y = 15$

3. 最終的な答え

(1) $(-3, 4)$

(2) $-x + 3y = 15$ または $3y-x=15$