図2に示すように、容積60Lの容器Aとピストン付きの容器Bがコックで連結された装置がある。温度60℃において、コックを閉じた状態で、Aには$4.0 \times 10^5$ PaのメタンCH4を封入し、Bには$1.80 \times 10^5$ Paの酸素O2を封入したところ、Bの容積はV(L)であった(これを状態1とする)。この状態から、温度を60℃に保ち、コックを開いてBのピストンを押し込み、B内のO2をすべてA内に移動させたところ、A内の圧力は$1.60 \times 10^5$ Paになった(これを状態2とする)。次に、コックを閉じ、A内の混合気体に着火し、CH4を完全に燃焼させた後、温度を60℃にした(これを状態3とする)。 a. 状態1において、容器Bの容積Vは何Lか。 b. 状態3において、容器A内の圧力は何Paになるか。ただし、60℃における水の飽和蒸気圧は$2.0 \times 10^4$ Paとする。

はい、承知いたしました。問題と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

図2に示すように、容積60Lの容器Aとピストン付きの容器Bがコックで連結された装置がある。温度60℃において、コックを閉じた状態で、Aには$4.0 \times 10^5$ PaのメタンCH4を封入し、Bには$1.80 \times 10^5$ Paの酸素O2を封入したところ、Bの容積はV(L)であった(これを状態1とする)。この状態から、温度を60℃に保ち、コックを開いてBのピストンを押し込み、B内のO2をすべてA内に移動させたところ、A内の圧力は$1.60 \times 10^5$ Paになった(これを状態2とする)。次に、コックを閉じ、A内の混合気体に着火し、CH4を完全に燃焼させた後、温度を60℃にした(これを状態3とする)。

a. 状態1において、容器Bの容積Vは何Lか。

b. 状態3において、容器A内の圧力は何Paになるか。ただし、60℃における水の飽和蒸気圧は$2.0 \times 10^4$ Paとする。

2. 解き方の手順

a. 状態1において、容器Bの容積Vを求める。状態2でBのO2がすべてAに入ったとき、Aの体積は60Lで、圧力が$1.60 \times 10^5$ Paである。状態1でのAの圧力は$4.0 \times 10^5$ Paである。

状態1と状態2において、Aに入っている気体の量は変わらないので、ボイルの法則 $P_1V_1 = P_2V_2$ を使う。

状態1ではAの体積は60Lで、圧力は$4.0 \times 10^5$ Paである。

状態2ではAの体積は60L + V (Bの体積)で、圧力は$1.60 \times 10^5$ Paである。

したがって、

$4.0 \times 10^5 \times 60 = 1.60 \times 10^5 \times (60 + V)$

$240 = 1.60 \times (60 + V)$

$150 = 60 + V$

$V = 90$ L

状態1において、Bには$1.80 \times 10^5$ Paの酸素O2がV(L)入っていた。

状態2ではBの酸素O2がAに入り、A全体の圧力が$1.60 \times 10^5$ Paになった。

ここで、状態1の酸素O2についてボイルの法則を適用する。

$1.80 \times 10^5 \times V = (1.60 \times 10^5 - 4.0 \times 10^5) \times 60$

状態2のAの圧力から状態1のメタンの圧力を引いたものが酸素の分圧になるので、

$1.80 \times 10^5 \times V = (1.60 \times 10^5 - 4.0 \times 10^5) \times 60$

$1.80 \times 10^5 \times V = 1.2 \times 10^5 \times 60$

$V = (1.2 \times 60)/1.8 = 40$ L

b. 状態3において、容器A内の圧力を求める。

状態2から状態3になる際、メタンが燃焼する。

$CH_4 + 2O_2 \rightarrow CO_2 + 2H_2O$

メタンの分圧は、$4.0 \times 10^5$ Pa

酸素の分圧は、$1.2 \times 10^5$ Pa

したがって、メタンがすべて反応し、二酸化炭素の分圧は、$4.0 \times 10^5$ Paとなる。

また、水H2Oの分圧は$2 \times 4.0 \times 10^5= 8.0 \times 10^5$ Paとなる。

しかし、60℃での水の飽和蒸気圧は$2.0 \times 10^4$ Paなので、水蒸気圧は$2.0 \times 10^4$ Paとなる。

したがって、状態3での圧力は、$4.0 \times 10^5 + 2.0 \times 10^4 = 6.0 \times 10^5$ Pa

3. 最終的な答え

a. 40 L

b. $6.0 \times 10^5$ Pa