A地点とB地点の間に6つの道、B地点とC地点の間に5つの道がある。AからCまで行き、同じ道を通らずにAに戻る方法は何通りあるか。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**問題1**

1. 問題の内容

A地点とB地点の間に6つの道、B地点とC地点の間に5つの道がある。AからCまで行き、同じ道を通らずにAに戻る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、AからCへの行き方は、A→B→Cと進むので、6つの道×5つの道=30通り。

次に、CからAへの戻り方を考える。C→B→Aと進む場合、行きに通った道は通れない。

したがって、C→Bは5つあった道の内1つを通っているので、残りの道は4つ。

同様にB→Aは6つあった道の内1つを通っているので、残りの道は5つ。

C→Aは4つの道×5つの道=20通り。

よって、AからCへ行き、同じ道を通らずにAに戻る方法は、30通り×20通り=600通り。

3. 最終的な答え

600通り

**問題2**

1. 問題の内容

大小2個のサイコロを投げて、出る目の数の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

大小2個のサイコロの目の和は最小で2、最大で12である。したがって、4の倍数になるのは4,8,12の場合である。

* 和が4になる場合：(1,3),(2,2),(3,1)の3通り

* 和が8になる場合：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)の5通り

* 和が12になる場合：(6,6)の1通り

したがって、合計は3+5+1=9通り

3. 最終的な答え

9通り

**問題3**

1. 問題の内容

8つの数字0,1,2,3,4,5,6,7を使って3桁の整数を作る。

(1) 異なる3個の数字を使う場合は何個できるか

(2) 同じ数字を繰り返し使っても良い場合は何個できるか

2. 解き方の手順

(1) 異なる3個の数字を使う場合：

百の位は0以外の7通り。十の位は百の位で使った数以外の7通り。一の位は百の位、十の位で使った数以外の6通り。

$7 \times 7 \times 6 = 294$

(2) 同じ数字を繰り返し使っても良い場合：

百の位は0以外の7通り。十の位は8通り。一の位は8通り。

$7 \times 8 \times 8 = 448$

3. 最終的な答え

(1) 294個

(2) 448個

**問題4**

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ

(1) $\frac{(n-1)!}{(n-3)!}$

(2) $\frac{(n-1)!}{(n+1)!}$

(3) $\frac{(n-r+1)!}{(n-r-1)!}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{(n-1)!}{(n-3)!} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} = (n-1)(n-2) = n^2 - 3n + 2$

(2) $\frac{(n-1)!}{(n+1)!} = \frac{(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!} = \frac{1}{(n+1)n} = \frac{1}{n^2 + n}$

(3) $\frac{(n-r+1)!}{(n-r-1)!} = \frac{(n-r+1)(n-r)(n-r-1)!}{(n-r-1)!} = (n-r+1)(n-r) = n^2 - 2nr + n + r^2 - r$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - 3n + 2$

(2) $\frac{1}{n^2 + n}$

(3) $n^2 - 2nr + n + r^2 - r$

**問題5**

1. 問題の内容

色の異なる6個のボールを大きさの異なる3つの箱に入れる方法は何通りあるか。ただし、ボールを1個も入れない箱があってもよいとする。

2. 解き方の手順

各ボールについて、3つの箱のいずれかに入れることができるので、各ボールにつき3通りの選択肢がある。したがって、6個のボールそれぞれに3通りの選択肢があるので、$3^6$通りとなる。

3. 最終的な答え

729通り

**問題6**

1. 問題の内容

7本の平行線が他の6本の平行線と交わってできた図形の中に平行四辺形はいくつあるか。

2. 解き方の手順

平行四辺形は、7本の平行線から2本を選び、6本の平行線から2本選ぶことで決まる。

7本から2本を選ぶ組み合わせは $_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り

6本から2本を選ぶ組み合わせは $_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

したがって、平行四辺形の総数は、$21 \times 15 = 315$通り

3. 最終的な答え

315個

**問題7**

1. 問題の内容

1から3までの数字を繰り返し使用することを許して7桁の整数を作るとき、1が3回用いられる整数はいくつできるか。

2. 解き方の手順

7桁の整数で1が3回用いられる場合、残りの4桁は2または3である。

まず、7桁のうち1を配置する場所を3箇所選ぶ。これは $_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

次に、残りの4桁に2または3を配置する。これは $2^4 = 16$通り。

したがって、合計は $35 \times 16 = 560$通り。

3. 最終的な答え

560個

**問題8**

1. 問題の内容

7つの数字3,3,3,4,4,5,5を全部並べて7桁の数を作る。

(1) 全部でいくつできるか

(2) 偶数はいくつできるか

2. 解き方の手順

(1) 全部でいくつできるか

7つの数字を並べる場合の数は $\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = 7 \times 6 \times 5 = 210$通り

(2) 偶数はいくつできるか

偶数にするためには、末尾が4である必要がある。

末尾を4に固定すると、残りの6つの数字は3,3,3,4,5,5となる。

この6つの数字を並べる場合の数は $\frac{6!}{3!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 6 \times 5 \times 2 = 60$通り

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 60個

**問題9**

1. 問題の内容

$(2x^2 - \frac{1}{x})^6$ を展開したとき、次の項の係数を求めよ。

(1) $x^3$

(2) $\frac{1}{x^3}$

(3) 定数項

2. 解き方の手順

二項定理より、一般項は $_6C_r (2x^2)^{6-r} (-\frac{1}{x})^r = _6C_r 2^{6-r} x^{12-2r} (-1)^r x^{-r} = _6C_r 2^{6-r} (-1)^r x^{12-3r}$

(1) $x^3$の係数を求める場合、$12-3r = 3$より$3r = 9$、$r = 3$

係数は $_6C_3 2^{6-3} (-1)^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 2^3 \times (-1) = 20 \times 8 \times (-1) = -160$

(2) $\frac{1}{x^3}$の係数を求める場合、$12-3r = -3$より$3r = 15$、$r = 5$

係数は $_6C_5 2^{6-5} (-1)^5 = 6 \times 2 \times (-1) = -12$

(3) 定数項を求める場合、$12-3r = 0$より$3r = 12$、$r = 4$

係数は $_6C_4 2^{6-4} (-1)^4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 2^2 \times 1 = 15 \times 4 = 60$

3. 最終的な答え

(1) -160

(2) -12

(3) 60