方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x) = 1$ の解 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x) = 1$ の解 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

対数の性質 $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$ を用いて、左辺をまとめます。

$\log_2(x(x+1)) = 1$

次に、対数の定義より、$2^1 = x(x+1)$ となります。

$x(x+1) = 2$

これを展開して整理すると、

$x^2 + x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を用いると、

$(x+2)(x-1) = 0$

したがって、$x = -2$ または $x = 1$ となります。

ここで、対数関数の真数は正である必要があるため、$x > 0$ かつ $x+1 > 0$ を満たす必要があります。

$x=-2$ はこの条件を満たさないため、不適です。

$x=1$ はこの条件を満たします。

3. 最終的な答え

x = 1