与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $4 - 4y + 2xy - x^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、平方完成の形を作れるように試みます。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = 4 - (x^2 - 2xy + 4y)$

括弧の中を $x$ について整理すると、

$4 - (x^2 - 2xy + y^2 - y^2 + 4y)$

$= 4 - ((x - y)^2 - y^2 + 4y)$

$= 4 - (x - y)^2 + y^2 - 4y$

$= 4 - (x - y)^2 + (y^2 - 4y + 4 - 4)$

$= 4 - (x - y)^2 + (y - 2)^2 - 4$

$= -(x - y)^2 + (y - 2)^2$

$= (y - 2)^2 - (x - y)^2$

ここで、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用いると、

$((y - 2) + (x - y))((y - 2) - (x - y))$

$= (y - 2 + x - y)(y - 2 - x + y)$

$= (x - 2)(2y - x - 2)$

3. 最終的な答え

$(x - 2)(2y - x - 2)$