与えられた式 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$ を展開して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$ を展開して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(a+b-c)$ を計算します。これは $(a+b)$ を共通項として持つ和と差の積の形なので、次のようになります。

$(a+b+c)(a+b-c) = ((a+b)+c)((a+b)-c) = (a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

次に、$(a-b+c)(-a+b+c)$ を計算します。これは $(c+(a-b))(c-(a-b))$ と見ることができ、これも和と差の積の形なので、次のようになります。

$(a-b+c)(-a+b+c) = (c+(a-b))(c-(a-b)) = c^2 - (a-b)^2 = c^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = c^2 - a^2 + 2ab - b^2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = (a^2 + 2ab + b^2 - c^2)(c^2 - a^2 + 2ab - b^2)$

ここで、$2ab + a^2 + b^2 - c^2 = (a+b)^2 - c^2$ と $2ab - a^2 - b^2 + c^2 = c^2 - (a-b)^2$ の符号を反転した形になっていることに注目します。

$x= a^2+b^2-c^2$ と置くと、

$(x+2ab)(-x+2ab) = (2ab+x)(2ab-x) = (2ab)^2 - x^2 = 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2$

$(a^2+b^2-c^2)^2 = (a^2+b^2)^2 -2(a^2+b^2)c^2 + c^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 + c^4$

よって、

$4a^2b^2 - (a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 + c^4) = 4a^2b^2 - a^4 - 2a^2b^2 - b^4 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - c^4 = -a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$

$= -(a^4+b^4+c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 +4a^2b^2 - 4a^2b^2 ) = -((a^2-b^2-c^2)^2 - 4b^2c^2) = -(a^2-b^2-c^2-2bc)(a^2-b^2-c^2+2bc) = - (a^2-(b+c)^2) (a^2-(b-c)^2) = -(a-(b+c))(a+(b+c))(a-(b-c))(a+(b-c))=-(a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

したがって、

$-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

3. 最終的な答え

$-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$

または

$2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$