Aさんは2次方程式の定数項を読み間違え、解 $x = -3 \pm \sqrt{14}$ を得ました。Bさんは同じ2次方程式の1次の項の係数を読み間違え、解 $x = 1, 5$ を得ました。もとの正しい2次方程式の解を求める問題です。

## 問題8

1. 問題の内容

Aさんは2次方程式の定数項を読み間違え、解 $x = -3 \pm \sqrt{14}$ を得ました。Bさんは同じ2次方程式の1次の項の係数を読み間違え、解 $x = 1, 5$ を得ました。もとの正しい2次方程式の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正しい2次方程式を $x^2 + ax + b = 0$ とおきます。

Aさんは定数項を読み間違えたため、$x^2 + ax + b' = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{14}$ となりました。

この解の和は $-3 + \sqrt{14} + (-3 - \sqrt{14}) = -6$ で、解の積は $(-3 + \sqrt{14})(-3 - \sqrt{14}) = 9 - 14 = -5$ です。

解と係数の関係より、

$-a = -6$

$b' = -5$

したがって、$a = 6$ がわかります。

Bさんは1次の項の係数を読み間違えたため、$x^2 + a'x + b = 0$ の解が $x = 1, 5$ となりました。

この解の和は $1 + 5 = 6$ で、解の積は $1 \times 5 = 5$ です。

解と係数の関係より、

$-a' = 6$

$b = 5$

したがって、$b = 5$ がわかります。

よって、もとの正しい2次方程式は $x^2 + 6x + 5 = 0$ です。

これを解くと、$(x+1)(x+5) = 0$ となるので、$x = -1, -5$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = -1, -5$

## 問題9

1. 問題の内容

$a, b$ は実数の定数とする。方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解をもてば、方程式 $x^2 + (a+2)x + a+b = 0$ も実数解をもつことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解を持つ条件は、判別式 $D_1 = a^2 - 4b \geq 0$ であることです。

次に、方程式 $x^2 + (a+2)x + a+b = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (a+2)^2 - 4(a+b) = a^2 + 4a + 4 - 4a - 4b = a^2 - 4b + 4$

ここで、$D_1 = a^2 - 4b \geq 0$ であるから、

$D_2 = D_1 + 4 \geq 0 + 4 = 4 > 0$

したがって、$D_2 > 0$ となるため、方程式 $x^2 + (a+2)x + a+b = 0$ は実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解をもてば、方程式 $x^2 + (a+2)x + a+b = 0$ も実数解をもつことが証明されました。