複素平面上の3点 $A(1-i)$, $B(2+i)$, $C(2i)$ に対して、半直線ABから半直線ACまでの回転角 $\theta$ を求める。ただし、$-\pi < \theta \leq \pi$とする。

1. 問題の内容

複素平面上の3点 $A(1-i)$, $B(2+i)$, $C(2i)$ に対して、半直線ABから半直線ACまでの回転角 $\theta$ を求める。ただし、$-\pi < \theta \leq \pi$とする。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$に対応する複素数を求める。

$\overrightarrow{AB} = (2+i) - (1-i) = 1+2i$

$\overrightarrow{AC} = (2i) - (1-i) = -1+3i$

次に、$\overrightarrow{AB}$から$\overrightarrow{AC}$への回転を表す複素数$\alpha$を求める。これは$\alpha = \frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB}}$で与えられる。

$$\alpha = \frac{-1+3i}{1+2i}$$

$\alpha$を計算するために、分母の共役複素数を掛けて分母を実数にする。

$$\alpha = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1+2i+3i-6i^2}{1-4i^2} = \frac{-1+5i+6}{1+4} = \frac{5+5i}{5} = 1+i$$

$\alpha = 1+i$は、複素平面上で点(1,1)を表す。$\alpha$の偏角$\theta$を求める。

$$|\alpha| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$$

$\alpha$の偏角$\theta$は、

$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

を満たす$\theta$であるから、

$$\theta = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$