与えられた式 $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理し、共通因数を見つけ出して因数分解します。

まず、与えられた式を $x^2$ と $y^2$ の項でまとめます。

$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2 = ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2$

次に、$x^2$ と $y^2$ の項をそれぞれ因数分解します。

$ax^2 - bx^2 = (a-b)x^2$

$by^2 - ay^2 = (b-a)y^2$

したがって、与えられた式は

$(a-b)x^2 + (b-a)y^2$

となります。

$b-a = -(a-b)$ であるから、

$(a-b)x^2 + (b-a)y^2 = (a-b)x^2 - (a-b)y^2$

ここで、共通因数 $(a-b)$ でくくると、

$(a-b)x^2 - (a-b)y^2 = (a-b)(x^2 - y^2)$

さらに、$x^2 - y^2$ は差の平方の公式 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を用いて因数分解できるので、

$(a-b)(x^2 - y^2) = (a-b)(x+y)(x-y)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(x+y)(x-y)$