与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-3y + 4)x + (2y^2 - 7y + 3)$

次に、定数項である $2y^2 - 7y + 3$ を因数分解します。

$2y^2 - 7y + 3 = (2y - 1)(y - 3)$

与式が因数分解できると仮定すると、$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になります。

$ac$ の候補は $1 \times 1 = 1$ のみです。

$x^2 + (-3y + 4)x + (2y^2 - 7y + 3) = (x + ay + b)(x + cy + d)$

$x^2 + (a+c)xy + ac y^2 + (b+d)x + (ad + bc)y + bd$

$x^2 + (a+c)xy + ac y^2 + (b+d)x + (ad + bc)y + bd = x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$

$ac = 2$, $a+c = -3$ なので、 $a = -1, c = -2$ (または $a=-2, c=-1$) を試します。

$2y^2 - 7y + 3 = (2y - 1)(y - 3)$ なので、$2y - 1$ と $y - 3$ を使って $4x - 7y + 3$ を作れるか考えます。

$(x - y + a)(x - 2y + b)$ の形を仮定します。

展開すると、$x^2 - 3xy + 2y^2 + (a+b)x + (-2a - b)y + ab$

係数を比較すると、$a + b = 4$, $-2a - b = -7$, $ab = 3$ が得られます。

$a + b = 4$ と $-2a - b = -7$ を足すと $-a = -3$, つまり $a = 3$

$a + b = 4$ に代入して、$3 + b = 4$, つまり $b = 1$

$ab = 3 \times 1 = 3$ なので、すべての条件を満たします。

したがって、$x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3 = (x - y + 3)(x - 2y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x - y + 3)(x - 2y + 1)$