数列 $\{a_n\}: 3, 4, 9, 18, 31, 48, \dots$ について、数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とするとき、 (i) 階差数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求め、 (ii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}: 3, 4, 9, 18, 31, 48, \dots$ について、数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とするとき、

(i) 階差数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を求め、

(ii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(i) 階差数列 $\{b_n\}$ を求める。

数列 $\{a_n\}$ の各項の差を計算すると、

$b_1 = 4-3 = 1$

$b_2 = 9-4 = 5$

$b_3 = 18-9 = 9$

$b_4 = 31-18 = 13$

$b_5 = 48-31 = 17$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 5, 9, 13, 17, \dots$ となる。

これは初項1、公差4の等差数列であるから、一般項 $b_n$ は

$b_n = 1 + (n-1)4 = 1+4n-4 = 4n-3$

(ii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k-3) = 3 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k - 3 \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 3 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1) = 3 + 2n(n-1) - 3(n-1) = 3 + 2n^2 - 2n - 3n + 3 = 2n^2 - 5n + 6$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 2-5+6 = 3$ となり、$a_1 = 3$ と一致する。

よって、$a_n = 2n^2 - 5n + 6$

3. 最終的な答え

(i) $b_n = 4n-3$

(ii) $a_n = 2n^2 - 5n + 6$