媒介変数 $t$ を用いて表された曲線 $x = t + \frac{1}{t} + \frac{5}{2}$ , $y = 2t - \frac{2}{t}$ について、 (1) $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求める。 (2) $a$ を定数とするとき、直線 $y = ax + 5$ とこの曲線との共有点の個数を調べる。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて表された曲線 $x = t + \frac{1}{t} + \frac{5}{2}$ , $y = 2t - \frac{2}{t}$ について、

(1) $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求める。

(2) $a$ を定数とするとき、直線 $y = ax + 5$ とこの曲線との共有点の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1) まず、$x$ と $y$ の式から $t + \frac{1}{t}$ と $t - \frac{1}{t}$ を求めます。

$x = t + \frac{1}{t} + \frac{5}{2}$ より、

$t + \frac{1}{t} = x - \frac{5}{2}$

$y = 2t - \frac{2}{t} = 2(t - \frac{1}{t})$ より、

$t - \frac{1}{t} = \frac{y}{2}$

次に、$(t + \frac{1}{t})^2 - (t - \frac{1}{t})^2 = 4$ を利用します。

$(x - \frac{5}{2})^2 - (\frac{y}{2})^2 = 4$

$(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{y^2}{4} = 4$

したがって、$x$ と $y$ の関係式は、

$\frac{(x - \frac{5}{2})^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

(2) 直線 $y = ax + 5$ と曲線 $\frac{(x - \frac{5}{2})^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$ の共有点の個数を調べます。

$y = ax + 5$ を曲線の方程式に代入します。

$\frac{(x - \frac{5}{2})^2}{4} - \frac{(ax + 5)^2}{16} = 1$

$4(x - \frac{5}{2})^2 - (ax + 5)^2 = 16$

$4(x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - (a^2x^2 + 10ax + 25) = 16$

$4x^2 - 20x + 25 - a^2x^2 - 10ax - 25 = 16$

$(4 - a^2)x^2 - (20 + 10a)x - 16 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (20 + 10a)^2 - 4(4 - a^2)(-16)$

$= 100(2 + a)^2 + 64(4 - a^2)$

$= 100(4 + 4a + a^2) + 256 - 64a^2$

$= 400 + 400a + 100a^2 + 256 - 64a^2$

$= 36a^2 + 400a + 656$

$= 4(9a^2 + 100a + 164)$

$D > 0$ のとき、共有点は2個

$D = 0$ のとき、共有点は1個

$D < 0$ のとき、共有点は0個

$9a^2 + 100a + 164 = 0$ の解を求めます。

$a = \frac{-100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 9 \cdot 164}}{18} = \frac{-100 \pm \sqrt{10000 - 5904}}{18} = \frac{-100 \pm \sqrt{4096}}{18} = \frac{-100 \pm 64}{18}$

$a = \frac{-36}{18} = -2$, $a = \frac{-164}{18} = -\frac{82}{9}$

よって、$9a^2 + 100a + 164 > 0$ となるのは、$a < -\frac{82}{9}$ または $a > -2$ のときです。

$9a^2 + 100a + 164 < 0$ となるのは、$-\frac{82}{9} < a < -2$ のときです。

また、$4 - a^2 = 0$、つまり $a = \pm 2$ のとき、1次方程式となり、共有点は1個になります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(x - \frac{5}{2})^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

(2)

$a < -\frac{82}{9}$ または $a > -2$ のとき、共有点は2個

$a = -\frac{82}{9}, -2$ のとき、共有点は1個

$-\frac{82}{9} < a < -2$ のとき、共有点は0個

$a = 2$ のとき、共有点は1個 ($0x - 30 x - 16 = 0$より$x = -16/30 = -8/15$となり一つ)

$a = -2$のとき共有点は1個(接するから)