(1) 媒介変数表示 $x = \cos\theta - 2\sin\theta$, $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ で与えられる2次曲線の方程式を $x, y$ で表す。 (2) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$ と表される座標平面上の曲線を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸が交わる座標平面上の点の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) 媒介変数表示 $x = \cos\theta - 2\sin\theta$, $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ で与えられる2次曲線の方程式を $x, y$ で表す。

(2) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$ と表される座標平面上の曲線を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸が交わる座標平面上の点の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta$ と $\sin\theta$ を $x$ と $y$ で表す。

まず、$x = \cos\theta - 2\sin\theta$ と $y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ が与えられている。

$x$ を 3 倍すると $3x = 3\cos\theta - 6\sin\theta$ となる。

$y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$

この2式を足し合わせると

$3x + y = 9\cos\theta - 3\sin\theta + 3 \sin \theta$

よって $3x + y = 9\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{3x+y}{9}$

$y = 6\cos\theta + 3\sin\theta$ より $2y = 12\cos\theta + 6\sin\theta$

$x = \cos\theta - 2\sin\theta$ を 6 倍すると $6x = 6\cos\theta - 12\sin\theta$

この2式を引き算すると

$2y - 6x = 18\sin\theta$

$\sin\theta = \frac{2y - 6x}{18} = \frac{y - 3x}{9}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて、

$\left(\frac{3x+y}{9}\right)^2 + \left(\frac{y-3x}{9}\right)^2 = 1$

$\frac{(3x+y)^2 + (y-3x)^2}{81} = 1$

$(3x+y)^2 + (y-3x)^2 = 81$

$9x^2 + 6xy + y^2 + y^2 - 6xy + 9x^2 = 81$

$18x^2 + 2y^2 = 81$

$18x^2 + 2y^2 = 81$

$2y^2 = 81 - 18x^2$

$y^2 = \frac{81}{2} - 9x^2$

$\frac{x^2}{\frac{81}{18}} + \frac{y^2}{\frac{81}{2}} = 1$

$\frac{x^2}{\frac{9}{2}} + \frac{y^2}{\frac{81}{2}} = 1$

(2) $x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$

$C$ と $y$ 軸が交わるということは、$x = 0$ である。

$\sin 2t = 0$ より、 $2t = n\pi$ $(n$ は整数$)$

$t = \frac{n\pi}{2}$

$y = \sin 5t = \sin\left(\frac{5n\pi}{2}\right)$

$n = 0, 1, 2, 3, 4, ...$ に対して $y$ の値は繰り返される。

$n = 0$: $y = \sin 0 = 0$

$n = 1$: $y = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$n = 2$: $y = \sin 5\pi = 0$

$n = 3$: $y = \sin \frac{15\pi}{2} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$

$n = 4$: $y = \sin 10\pi = 0$

$n = 5$: $y = \sin \frac{25\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$y$ の値は、$0, 1, 0, -1$ を繰り返すので、異なる $y$ の値は $0, 1, -1$ の 3 つである。

したがって、$C$ と $y$ 軸が交わる座標平面上の点の個数は 3 個である。

3. 最終的な答え

(1) $18x^2 + 2y^2 = 81$

(2) 3 個