与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。画像にある３つの問題の解答を以下に示します。

**問題(3)**

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a^2 - b - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数でくくります。

$a^2b + a^2 - b - 1 = a^2(b+1) - (b+1)$

$(b+1)$が共通因数なので、これでくくります。

$a^2(b+1) - (b+1) = (a^2-1)(b+1)$

$a^2-1$ は差の平方の形なので、さらに因数分解できます。

$(a^2-1)(b+1) = (a+1)(a-1)(b+1)$

3. 最終的な答え

$(a+1)(a-1)(b+1)$

**問題(4)**

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、$(a+b+c)^2$ を展開した形に似ています。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

与えられた式には $c^2$ がありませんが、$(a+b+c)^2$ の展開形を利用して因数分解できます。

$a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab = (a+b+c)^2 -c^2$

$= (a+b)^2+2c(a+b)+c^2$

$=(a+b+c)^2$

与えられた式には $c^2$ がありません.

$a^2 + b^2 + 2bc + 2ca + 2ab = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - c^2$

$a^2 + b^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b)^2+2c(a+b)=(a+b)(a+b+2c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)^2 + 2c(a+b) = (a+b)(a+b+2c)$

**問題(5)**

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x$ について整理します。

$2x^2 + (2y-3)x - (4y+2)$

たすき掛けを試みます。

$(2x+a)(x+b) = 2x^2 + (a+2b)x + ab$

$a+2b = 2y-3$

$ab = -4y-2 = -2(2y+1)$

ここで、

$2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2=2x^2+2xy-4y-3x-2$

$=2x(x+y)-2(2y+1)-3x$

$=2x(x+y) - 3x -2(2y+1)$

$2x^2+2xy-3x-4y-2$ を因数分解するために、以下のように考えます。

$2x^2+2xy-3x-4y-2 = 2x^2 + (2y-3)x -2(2y+1)$

$=(x+2)(2x+2y+1)-8-3x-4y-2=(2x+2y+1)(x-2)+x-2=(2x+2y+1)(x-2)+x-2=(2x+2y+1)(x-2)=(2x+2y-3)(x-2)$

$(x+2y+c)(2x-1)$

3. 最終的な答え

$(2x-4)(x+2y+1)$

$(x-2)(2x+2y+1)$

最終的な答え

$(x+y+1)(2x-2)$

$(x-2)(2x+2y+1)$