与えられた式 $3x^2 + 5xy - 2y^2 - x + 5y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 5xy - 2y^2 - x + 5y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (5y - 1)x - (2y^2 - 5y + 2)$

次に、定数項 $2y^2 - 5y + 2$ を因数分解します。

$2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2)$

したがって、式は次のようになります。

$3x^2 + (5y - 1)x - (2y - 1)(y - 2)$

この式を因数分解するには、$3x^2$ を $3x$ と $x$ に分け、$-(2y - 1)(y - 2)$ を $(ay + b)$ と $(cy + d)$ の形に分け、$(3x + ay + b)(x + cy + d)$ のように因数分解できるかを試します。

$3x^2 + (5y - 1)x - (2y - 1)(y - 2) = (3x + (ay + b))(x + (cy + d))$

$3x + (2y - 1)$ と $x - (y - 2)$ の組み合わせを試すと、

$(3x + 2y - 1)(x - y + 2) = 3x^2 - 3xy + 6x + 2xy - 2y^2 + 4y - x + y - 2 = 3x^2 - xy + 5x - 2y^2 + 5y - 2$

$3x - (y-2)$ と $x+(2y-1)$ の組み合わせを試すと、

$(3x - (y-2))(x + (2y-1)) = (3x - y + 2)(x + 2y - 1) = 3x^2 + 6xy - 3x - xy - 2y^2 + y + 2x + 4y - 2 = 3x^2 + 5xy - x - 2y^2 + 5y - 2$

これが元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - y + 2)(x + 2y - 1)$