以下の3つの式を因数分解します。 (1) $8x^3+1$ (2) $64a^3-27$ (3) $27x^3+125y^3$

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解します。

(1) $8x^3+1$

(2) $64a^3-27$

(3) $27x^3+125y^3$

2. 解き方の手順

これらの式は、それぞれ和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ もしくは差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して因数分解できます。

(1) $8x^3+1 = (2x)^3 + 1^3$ なので、$a = 2x, b = 1$ として和の3乗の公式を適用します。

$$8x^3+1 = (2x+1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$$

(2) $64a^3-27 = (4a)^3 - 3^3$ なので、$a = 4a, b = 3$ として差の3乗の公式を適用します。

$$64a^3-27 = (4a-3)((4a)^2 + (4a)(3) + 3^2) = (4a-3)(16a^2 + 12a + 9)$$

(3) $27x^3+125y^3 = (3x)^3 + (5y)^3$ なので、$a = 3x, b = 5y$ として和の3乗の公式を適用します。

$$27x^3+125y^3 = (3x+5y)((3x)^2 - (3x)(5y) + (5y)^2) = (3x+5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)$$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$

(2) $(4a-3)(16a^2 + 12a + 9)$

(3) $(3x+5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)$