与えられた3つの式を因数分解する問題です。ここでは、(3)の式、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。ここでは、(3)の式、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、次数が最も低い文字に着目します。この式では$a, b, c$の次数は全て2なので、$a$について整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = (b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + (b^2c + bc^2) = (b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b+c)$

ここで、$b^2 + 3bc + c^2 = b^2 + bc + 2bc + c^2 = (b+c)(b+c)+bc$と変形して、$b^2 + 3bc + c^2 = (b+c)^2 + bc$を用いることはできないので、元の形から因数分解できるか試します。

全体を並び替えて整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + bc(b+c)$

さらに式を整理します。

$a^2(b+c) + ab^2 + abc + ac^2 + abc + abc + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + ab(b+c) + ac(c+b) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + ab(b+c) + ac(b+c) + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$