(1) 媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \cos \theta - 2 \sin \theta$, $y = 6 \cos \theta + 3 \sin \theta$ と表される2次曲線の方程式を $x, y$ で表す。 (2) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$ と表される座標平面上の曲線を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸が交わる座標平面上の点の個数を求める。

1. 問題の内容

(1) 媒介変数 $\theta$ を用いて $x = \cos \theta - 2 \sin \theta$, $y = 6 \cos \theta + 3 \sin \theta$ と表される2次曲線の方程式を $x, y$ で表す。

(2) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$ と表される座標平面上の曲線を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸が交わる座標平面上の点の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x = \cos \theta - 2 \sin \theta$

$y = 6 \cos \theta + 3 \sin \theta$

この連立方程式から $\cos \theta$ と $\sin \theta$ を $x, y$ で表すことを考える。

$3x = 3 \cos \theta - 6 \sin \theta$

$2y = 12 \cos \theta + 6 \sin \theta$

$3x + 2y = 15 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{3x+2y}{15}$

$6x = 6 \cos \theta - 12 \sin \theta$

$y = 6 \cos \theta + 3 \sin \theta$

$6x - y = -15 \sin \theta$

$\sin \theta = \frac{y-6x}{15}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$(\frac{y-6x}{15})^2 + (\frac{3x+2y}{15})^2 = 1$

$(y-6x)^2 + (3x+2y)^2 = 225$

$y^2 - 12xy + 36x^2 + 9x^2 + 12xy + 4y^2 = 225$

$45x^2 + 5y^2 = 225$

$9x^2 + y^2 = 45$

$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{45} = 1$

(2)

$x = \sin 2t$, $y = \sin 5t$

$C$ と $y$ 軸の交点は $x=0$ を満たす点である。

$\sin 2t = 0$

$2t = n\pi$ ($n$ は整数)

$t = \frac{n\pi}{2}$

$y = \sin 5t = \sin \frac{5n\pi}{2}$

$n=0$ のとき $y = \sin 0 = 0$

$n=1$ のとき $y = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$n=2$ のとき $y = \sin 5\pi = 0$

$n=3$ のとき $y = \sin \frac{15\pi}{2} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$

$n=4$ のとき $y = \sin 10\pi = 0$

$n=5$ のとき $y = \sin \frac{25\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

$y$ の値は $0, 1, -1$ を繰り返す。

$0 \le t < 2\pi$ の範囲で考える。

$0 \le \frac{n\pi}{2} < 2\pi$

$0 \le n < 4$

$n=0, 1, 2, 3$ に対応する $y$ の値は $0, 1, 0, -1$。

$0 \le t < 2\pi$ の範囲では $(0, 0), (0, 1), (0, -1)$ の3点。

$t$ の範囲に制限がない場合、$\sin(5t)$ がとりうる値は $-1$ から $1$ であるので、 $y$ 軸との交点の数は3個である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{45} = 1$

(2) 3個