$a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$、$b = |a - 5|$とする。$b$の整数部分を$A$、小数部分を$B$とする。 (1) $a$の整数部分を求める。 (2) $A$と$B$を求める。 (3) $2A^2 - 4AB + 4B^2$の値を求める。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$、$b = |a - 5|$とする。$b$の整数部分を$A$、小数部分を$B$とする。

(1) $a$の整数部分を求める。

(2) $A$と$B$を求める。

(3) $2A^2 - 4AB + 4B^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$の整数部分を求める。

まず、$a$を計算しやすい形に変形する。

$a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}$

ここで、$\sqrt{6}$と$\sqrt{10}$のおおよその値を考える。

$2 < \sqrt{6} < 3$である。

$3 < \sqrt{10} < 4$である。

したがって、$5 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 7$となる。

よって、$\frac{5}{2} < a < \frac{7}{2}$なので、$2.5 < a < 3.5$となる。

より正確に評価するため、$2.4 < \sqrt{6} < 2.5$、$3.1 < \sqrt{10} < 3.2$とすると、

$5.5 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 5.7$

$\frac{5.5}{2} < a < \frac{5.7}{2}$

$2.75 < a < 2.85$

したがって、$a$の整数部分は2となる。

(2) $A$と$B$を求める。

まず、$b$を計算する。

$b = |a - 5| = | \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2} - 5| = | \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10} - 10}{2} |$

$\sqrt{6} + \sqrt{10} \approx 2.45 + 3.16 = 5.61$なので、

$b = | \frac{5.61 - 10}{2} | = | \frac{-4.39}{2} | = 2.195$

$A$は$b$の整数部分なので、$A = 2$

$B$は$b$の小数部分なので、$B = b - A = 2.195 - 2 = 0.195$

$a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}$

$a - 5 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10} - 10}{2}$

$b = |a - 5| = | \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10} - 10}{2} | = \frac{10 - \sqrt{6} - \sqrt{10}}{2}$

$A = 2$

$B = b - A = \frac{10 - \sqrt{6} - \sqrt{10}}{2} - 2 = \frac{6 - \sqrt{6} - \sqrt{10}}{2} = 3 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}$

(3) $2A^2 - 4AB + 4B^2$の値を求める。

$2A^2 - 4AB + 4B^2 = 2(2)^2 - 4(2)B + 4B^2 = 8 - 8B + 4B^2 = 4(2 - 2B + B^2) = 4(B^2 - 2B + 2)$

$B = 3 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}$

$B^2 - 2B + 2 = (3 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2})^2 - 2(3 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}) + 2$

$= 9 - 3(\sqrt{6} + \sqrt{10}) + \frac{6 + 2\sqrt{60} + 10}{4} - 6 + \sqrt{6} + \sqrt{10} + 2$

$= 5 - 2(\sqrt{6} + \sqrt{10}) + \frac{16 + 4\sqrt{15}}{4} = 5 - 2(\sqrt{6} + \sqrt{10}) + 4 + \sqrt{15}$

$= 9 - 2(\sqrt{6} + \sqrt{10}) + \sqrt{15}$

$A=2$, $b=|a-5|$

$b=5-a$

$B=b-2=3-a$

$2A^2-4AB+4B^2 = 8 - 8B + 4B^2 = 4(2-2B+B^2)$

$=4((3-a)^2 - 2(3-a)+2) = 4(9-6a+a^2-6+2a+2) = 4(5-4a+a^2) = 4((a-2)^2+1) = 4((\frac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}-2)^2+1) = 4(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{10}-4)^2}{4}+1) = (\sqrt{6}+\sqrt{10}-4)^2+4 = 6+10+16+2\sqrt{60}-8(\sqrt{6}+\sqrt{10})+4 = 36 + 4\sqrt{15} - 8(\sqrt{6}+\sqrt{10})$

3. 最終的な答え

(1) $a$の整数部分: 2

(2) $A = 2$, $B = 3 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}$

(3) $2A^2 - 4AB + 4B^2 = 36+4\sqrt{15}-8(\sqrt{6}+\sqrt{10})$