与えられた分数の式を計算して簡単にします。式は以下の通りです。 $\frac{3}{x^2 - x - 2} - \frac{1}{x^2 + x} + \frac{1}{2 - x}$

1. 問題の内容

与えられた分数の式を計算して簡単にします。式は以下の通りです。

$\frac{3}{x^2 - x - 2} - \frac{1}{x^2 + x} + \frac{1}{2 - x}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

$x^2 + x = x(x + 1)$

$2 - x = -(x - 2)$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $x(x - 2)(x + 1)$ です。

各分数を通分します。

$\frac{3}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{3x}{x(x - 2)(x + 1)}$

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 1)}$

$\frac{1}{2 - x} = \frac{-1}{x - 2} = \frac{-x(x + 1)}{x(x - 2)(x + 1)}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{3x}{x(x - 2)(x + 1)} - \frac{x - 2}{x(x - 2)(x + 1)} - \frac{x(x + 1)}{x(x - 2)(x + 1)}$

分子をまとめます。

$\frac{3x - (x - 2) - x(x + 1)}{x(x - 2)(x + 1)} = \frac{3x - x + 2 - x^2 - x}{x(x - 2)(x + 1)} = \frac{-x^2 + x + 2}{x(x - 2)(x + 1)}$

分子を因数分解します。

$-x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{-(x - 2)(x + 1)}{x(x - 2)(x + 1)}$

共通因数を約分します。 $(x - 2)$ と $(x + 1)$ を約分できます。

$\frac{-1}{x}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x}$