与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 - 5x^2 + 4$ (2) $x^4 - 81$ (3) $x^2y - x^2 + x - y$ (4) $x^2 - 2xy + 4y - 4$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 - 5x^2 + 4$

(2) $x^4 - 81$

(3) $x^2y - x^2 + x - y$

(4) $x^2 - 2xy + 4y - 4$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 5x^2 + 4$

$x^2 = A$ とおくと、

$A^2 - 5A + 4$

これは因数分解できて、

$(A - 1)(A - 4)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

さらに、$x^2 - 1$ と $x^2 - 4$ はそれぞれ因数分解できるので、

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

(2) $x^4 - 81$

これは $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ の形を利用します。

$x^4 = (x^2)^2$ であり、$81 = 9^2$ なので、

$(x^2 - 9)(x^2 + 9)$

さらに、$x^2 - 9$ は因数分解できるので、

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

(3) $x^2y - x^2 + x - y$

この式は、共通因数を見つけて整理します。

$x^2(y - 1) - (y - x)$

$= x^2(y - 1) - (y - x)$

$= - x^2 + x + x^2 y - y$

$= y(x^2 - 1) - (x^2 - x)$

$=x^2y - x^2 + x - y$

$=x^2(y-1) - (y-x)$

$=x^2(y-1) - (y-x)$

$=(x^2y -y) - (x^2-x)$

$=y(x^2 - 1) -x(x-1)$

$=y(x-1)(x+1)-x(x-1)$

$=(x-1)[y(x+1)-x]$

$=(x-1)(xy+y-x)$

(4) $x^2 - 2xy + 4y - 4$

$(x^2 - 4) - 2xy + 4y$

$(x - 2)(x + 2) - 2y(x - 2)$

$(x - 2)(x + 2 - 2y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

(2) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

(3) $(x-1)(xy+y-x)$

(4) $(x - 2)(x - 2y + 2)$