数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を、与えられた漸化式と初期条件から求める問題です。今回は問題(1)を扱います。 与えられた条件は、$a_1 = 3$ および $a_{n+1} = a_n + 4^n$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を、与えられた漸化式と初期条件から求める問題です。今回は問題(1)を扱います。

与えられた条件は、$a_1 = 3$ および $a_{n+1} = a_n + 4^n$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4^n$ は、階差数列の形をしています。つまり、$a_{n+1} - a_n = 4^n$ です。

したがって、$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

$a_1 = 3$ を代入し、等比数列の和の公式を用いると、

$a_n = 3 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1}$

$a_n = 3 + \frac{4^n - 4}{3}$

$a_n = \frac{9 + 4^n - 4}{3}$

$a_n = \frac{4^n + 5}{3}$

ここで、$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4^1 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$ となり、$a_1 = 3$ の条件を満たすので、$n=1$ のときもこの式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4^n + 5}{3}$