問題は、与えられたベクトルをシュミットの直交化法を用いて正規直交化することです。具体的には、以下の二つの問題があります。 (2) $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられたベクトルをシュミットの直交化法を用いて正規直交化することです。具体的には、以下の二つの問題があります。

(2) $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(2) の場合：

まず、与えられたベクトルを $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ とします。

1. $u_1 = v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$e_1 = \frac{u_1}{||u_1||} = \frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. $u_2 = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{||u_1||^2} u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{2+0+1}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}$

$e_2 = \frac{u_2}{||u_2||} = \frac{1}{\sqrt{0^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2}} \begin{bmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1/2}} \begin{bmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$

3. $u_3 = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{||u_1||^2} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{||u_2||^2} u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{2+2+1}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{0 - 1 + 1/2}{1/2} \begin{bmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{5}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - (-1) \begin{bmatrix} 0 \\ -1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 5/3 \\ 2 - 5/6 - 1/2 \\ 1 - 5/6 + 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1 \\ 1/3 \end{bmatrix}$

$e_3 = \frac{u_3}{||u_3||} = \frac{1}{\sqrt{(-2/3)^2 + 1^2 + (1/3)^2}} \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1 \\ 1/3 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{14/9}} \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1 \\ 1/3 \end{bmatrix} = \frac{3}{\sqrt{14}} \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1 \\ 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/\sqrt{14} \\ 3/\sqrt{14} \\ 1/\sqrt{14} \end{bmatrix}$

(4) の場合：

まず、与えられたベクトルを $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ とします。

1. $u_1 = v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$e_1 = \frac{u_1}{||u_1||} = \frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2+0^2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

2. $u_2 = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{||u_1||^2} u_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{0-1+0+0}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$e_2 = \frac{u_2}{||u_2||} = \frac{1}{\sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2+(-1)^2+0^2}} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3/2}} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \\ -2/\sqrt{6} \\ 0 \end{bmatrix}$

3. $u_3 = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{||u_1||^2} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{||u_2||^2} u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1/2}{3/2} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/6 \\ 1/6 \\ -1/3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/6 \\ 4/6 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$e_3 = \frac{u_3}{||u_3||} = \frac{1}{\sqrt{1/9+4/9+1/9+1}} \begin{bmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{15/9}} \begin{bmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{3}{\sqrt{15}} \begin{bmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1/\sqrt{15} \\ 2/\sqrt{15} \\ 1/\sqrt{15} \\ 3/\sqrt{15} \end{bmatrix}$

4. $u_4 = v_4 - \frac{v_4 \cdot u_1}{||u_1||^2} u_1 - \frac{v_4 \cdot u_2}{||u_2||^2} u_2 - \frac{v_4 \cdot u_3}{||u_3||^2} u_3 =\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1/2}{3/2} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{2/3}{15/9} \begin{bmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{2}{5} \begin{bmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1/6 \\ 1/6 \\ -1/3 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2/15 \\ 4/15 \\ 2/15 \\ 2/5 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{15+5-5-4}{30} \\ \frac{30-15-5-8}{30} \\ \frac{10+4-4}{30} \\ -\frac{12}{30} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 11/30 \\ 2/30 \\ 10/30 \\ -12/30 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 11/30 \\ 1/15 \\ 1/3 \\ -2/5 \end{bmatrix}$

$e_4 = \frac{u_4}{||u_4||} = \frac{1}{\sqrt{ \frac{121}{900} + \frac{1}{225} + \frac{1}{9} + \frac{4}{25}}} \begin{bmatrix} 11/30 \\ 1/15 \\ 1/3 \\ -2/5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(2) の正規直交基底は次のとおりです。

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$, $e_3 = \begin{bmatrix} -2/\sqrt{14} \\ 3/\sqrt{14} \\ 1/\sqrt{14} \end{bmatrix}$

(4) の正規直交基底は次のとおりです。

$e_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $e_2 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \\ -2/\sqrt{6} \\ 0 \end{bmatrix}$, $e_3 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{15} \\ 2/\sqrt{15} \\ 1/\sqrt{15} \\ 3/\sqrt{15} \end{bmatrix}$ , $e_4 = \frac{1}{\sqrt{ \frac{121}{900} + \frac{1}{225} + \frac{1}{9} + \frac{4}{25}}} \begin{bmatrix} 11/30 \\ 1/15 \\ 1/3 \\ -2/5 \end{bmatrix}$