数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 = 6$、$a_{n+1} = 5a_n - 4$ を満たすとき、$a_n = 5^{[15]} + [ ]$ の $[15]$ に当てはまるものを選択肢から選び、$[ ]$ に当てはまる値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 = 6$、$a_{n+1} = 5a_n - 4$ を満たすとき、$a_n = 5^{[15]} + [ ]$ の $[15]$ に当てはまるものを選択肢から選び、$[ ]$ に当てはまる値を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 5a_n - 4$ を変形する。

$a_{n+1} - \alpha = 5(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = 5a_n - 4$ と比較すると、

$-\alpha = -5\alpha - 4$

$4\alpha = -4$

$\alpha = -1$

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 1 = 5(a_n - 1)$ と変形できる。

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 5b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 $5$ の等比数列である。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 - 1 = 6 - 1 = 5$ である。

したがって、$b_n = 5 \cdot 5^{n-1} = 5^n$ となる。

$a_n = b_n + 1$ より、$a_n = 5^n + 1$ となる。

与えられた式の形 $a_n = 5^{[15]} + [ ]$ と比較すると、$[15]$ には $n$ が入り、$[ ]$ には $1$ が入る。

選択肢より、$[15]$ に当てはまるのは ② の $n$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 5^n + 1$

$[15]$ に当てはまる選択肢：②

$[ ]$ に当てはまる値：$1$