$2^{40}$ は何桁の数か求めなさい。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

$2^{40}$ は何桁の数か求めなさい。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

$2^{40}$ の桁数を求めるには、常用対数 $log_{10}2^{40}$ を計算し、その値から桁数を求めることができます。

まず、常用対数の性質を利用して、$log_{10}2^{40}$ を計算します。

$log_{10}2^{40} = 40 \times log_{10}2$

問題文で与えられている $log_{10}2 = 0.3010$ を代入します。

$log_{10}2^{40} = 40 \times 0.3010 = 12.04$

$log_{10}2^{40} = 12.04$ であることから、$2^{40}$ は $10^{12.04}$ と書けます。

$10^{12} < 10^{12.04} < 10^{13}$ より、 $2^{40}$ は13桁の数であることがわかります。

一般に、$log_{10}N = x$ のとき、Nの桁数は $x$ の整数部分に1を加えた数となります。

この場合、$x = 12.04$ なので、整数部分は12であり、それに1を加えると13となります。

3. 最終的な答え

13桁