与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (2y - 1)x - (y^2 - 3y + 2)$

次に、定数項 $-(y^2 - 3y + 2)$ を因数分解します。

$y^2 - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2)$

したがって、

$-(y^2 - 3y + 2) = -(y - 1)(y - 2)$

与式は

$3x^2 + (2y - 1)x - (y - 1)(y - 2)$

となります。

この式を因数分解すると

$(3x - (y - 1))(x + (y - 2))$

$(3x - y + 1)(x + y - 2)$

展開して確認します。

$(3x - y + 1)(x + y - 2) = 3x^2 + 3xy - 6x - xy - y^2 + 2y + x + y - 2 = 3x^2 + 2xy - 5x - y^2 + 3y - 2$

問題文の式と比較すると、$x$ の係数が異なります。そこで、別の組み合わせを試してみます。

$3x^2 + (2y - 1)x - (y^2 - 3y + 2)$ を因数分解するときに、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形を考えます。

$3x^2$ より、$a$と$d$ は $3$ と $1$ の組み合わせだと考えられます。

$y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$ より、$-(y-1)(y-2)$ を作れる組み合わせを考えると、

$(3x + y - 2)(x - y + 1)$

という組み合わせが考えられます。

これを展開すると、

$(3x + y - 2)(x - y + 1) = 3x^2 - 3xy + 3x + xy - y^2 + y - 2x + 2y - 2 = 3x^2 - 2xy + x - y^2 + 3y - 2$

これも元の式と一致しません。

もう一度見直すと、

$3x^2 + (2y - 1)x - (y^2 - 3y + 2) = 3x^2 + 2xy - x - y^2 + 3y - 2$

を因数分解したい。

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (3c + a)xy + (3d + b)x + acy^2 + (ad + bc)y + bd$

となるので、

$3c + a = 2$

$3d + b = -1$

$ac = -1$

$ad + bc = 3$

$bd = -2$

$ac = -1$ より、$a=1, c=-1$ または $a=-1, c=1$。

$a = 1, c = -1$ のとき、$3c + a = -3 + 1 = -2 \neq 2$ なので、$a = 1, c = -1$ は不適。

$a = -1, c = 1$ のとき、$3c + a = 3 - 1 = 2$ となり、適合。

よって、$a = -1, c = 1$

このとき、$3d + b = -1$, $ad + bc = -d + b = 3$, $bd = -2$

$-d + b = 3$ より、$b = d + 3$

$bd = d(d + 3) = d^2 + 3d = -2$

$d^2 + 3d + 2 = 0$

$(d + 1)(d + 2) = 0$

よって、$d = -1$ または $d = -2$

$d = -1$ のとき、$b = d + 3 = -1 + 3 = 2$

$3d + b = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1$ となり適合。

$d = -2$ のとき、$b = d + 3 = -2 + 3 = 1$

$3d + b = 3(-2) + 1 = -6 + 1 = -5 \neq -1$ なので、$d=-2$ は不適。

したがって、$a = -1, b = 2, c = 1, d = -1$

$(3x - y + 2)(x + y - 1)$

展開して確認します。

$(3x - y + 2)(x + y - 1) = 3x^2 + 3xy - 3x - xy - y^2 + y + 2x + 2y - 2 = 3x^2 + 2xy - x - y^2 + 3y - 2$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - y + 2)(x + y - 1)$