兄は所持金の $\frac{3}{4}$ を、弟は所持金の $\frac{1}{2}$ を出し合い、兄弟で5000円のバットを1割引きで買いました。残金は、弟の方が兄より500円多くなりました。兄と弟のはじめの所持金を求めなさい。

1. 問題の内容

兄は所持金の $\frac{3}{4}$ を、弟は所持金の $\frac{1}{2}$ を出し合い、兄弟で5000円のバットを1割引きで買いました。残金は、弟の方が兄より500円多くなりました。兄と弟のはじめの所持金を求めなさい。

2. 解き方の手順

兄のはじめの所持金を $x$ 円、弟のはじめの所持金を $y$ 円とします。

バットは1割引きで買われたので、実際の支払額は $5000 \times (1 - \frac{1}{10}) = 5000 \times \frac{9}{10} = 4500$ 円です。

兄と弟が出し合った金額の合計は4500円なので、

$\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}y = 4500$

両辺を4倍して、

$3x + 2y = 18000$ (1)

残金について、弟の残金は兄の残金より500円多いので、

$(y - \frac{1}{2}y) - (x - \frac{3}{4}x) = 500$

$\frac{1}{2}y - \frac{1}{4}x = 500$

両辺を4倍して、

$2y - x = 2000$

$x = 2y - 2000$ (2)

(2)を(1)に代入すると、

$3(2y - 2000) + 2y = 18000$

$6y - 6000 + 2y = 18000$

$8y = 24000$

$y = 3000$

(2)より、

$x = 2 \times 3000 - 2000 = 6000 - 2000 = 4000$

3. 最終的な答え

兄のはじめの所持金は4000円、弟のはじめの所持金は3000円です。