与えられた3つのベクトルをグラム・シュミットの正規直交化法を用いて正規直交化せよ。与えられたベクトルを順に $\vec{a_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ とする。

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトルをグラム・シュミットの正規直交化法を用いて正規直交化せよ。与えられたベクトルを順に $\vec{a_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、グラム・シュミットの直交化法を適用する。

1. $\vec{b_1} = \vec{a_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ とする。

2. $\vec{b_2} = \vec{a_2} - \frac{\vec{a_2} \cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}} \vec{b_1}$ を計算する。

$\vec{a_2} \cdot \vec{b_1} = (1)(2) + (0)(1) + (1)(1) = 2 + 0 + 1 = 3$

$\vec{b_1} \cdot \vec{b_1} = (2)(2) + (1)(1) + (1)(1) = 4 + 1 + 1 = 6$

$\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{3}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 \\ 0-\frac{1}{2} \\ 1-\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

3. $\vec{b_3} = \vec{a_3} - \frac{\vec{a_3} \cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}} \vec{b_1} - \frac{\vec{a_3} \cdot \vec{b_2}}{\vec{b_2} \cdot \vec{b_2}} \vec{b_2}$ を計算する。

$\vec{a_3} \cdot \vec{b_1} = (1)(2) + (2)(1) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$

$\vec{a_3} \cdot \vec{b_2} = (1)(0) + (2)(-\frac{1}{2}) + (1)(\frac{1}{2}) = 0 - 1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

$\vec{b_2} \cdot \vec{b_2} = (0)(0) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = 0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

$\vec{b_3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{5}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{5}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{10}{6} \\ 2-\frac{5}{6}-\frac{1}{2} \\ 1-\frac{5}{6}+\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{4}{6} \\ \frac{12-5-3}{6} \\ \frac{6-5+3}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{4}{6} \\ \frac{4}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

次に、$\vec{b_1}$, $\vec{b_2}$, $\vec{b_3}$ を正規化する。

$||\vec{b_1}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$

$||\vec{b_2}|| = \sqrt{0^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$||\vec{b_3}|| = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\vec{e_1} = \frac{\vec{b_1}}{||\vec{b_1}||} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$

$\vec{e_2} = \frac{\vec{b_2}}{||\vec{b_2}||} = \sqrt{2} \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

$\vec{e_3} = \frac{\vec{b_3}}{||\vec{b_3}||} = \frac{\sqrt{3}}{2} \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}$