与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与式を$x$について整理する。

$3x^2 + (2y - 1)x - (y^2 - 3y + 2)$

定数項$-(y^2 - 3y + 2)$を因数分解する。

$-(y^2 - 3y + 2) = -(y-1)(y-2)$

与式を因数分解できると仮定すると、

$(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になるはずである。

展開すると $3x^2 + (3cy + 3d + ay + b)x + (acy^2 + ady + bcy + bd)$

よって、$3c + a = 2$、$3d + b = -1$、$ac = -1$、$ad + bc = 3$、$bd = -2$ となる。

定数項の因数分解の結果から、与式は

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = (3x - y + 2)(x + y - 1)$ と因数分解できると予想できる。

実際に展開してみると、

$(3x - y + 2)(x + y - 1) = 3x^2 + 3xy - 3x - xy - y^2 + y + 2x + 2y - 2 = 3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2$

となり、元の式と一致する。

3. 最終的な答え

$(3x - y + 2)(x + y - 1)$