与えられたベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を、シュミットの直交化法を用いて正規直交化する。

## 問題1 (1) の解答

1. 問題の内容

与えられたベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を、シュミットの直交化法を用いて正規直交化する。

2. 解き方の手順

まず、直交基底 $u_1$, $u_2$, $u_3$ を求める。

$u_1 = v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle}u_1$

ここで、

$\langle v_2, u_1 \rangle = 1*1 + 1*1 + 1*0 = 2$

$\langle u_1, u_1 \rangle = 1*1 + 1*1 + 0*0 = 2$

よって、

$u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{2}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$u_3 = v_3 - \frac{\langle v_3, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle}u_1 - \frac{\langle v_3, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle}u_2$

ここで、

$\langle v_3, u_1 \rangle = 1*1 + 0*1 + 0*0 = 1$

$\langle u_1, u_1 \rangle = 2$

$\langle v_3, u_2 \rangle = 1*0 + 0*0 + 0*1 = 0$

$\langle u_2, u_2 \rangle = 0*0 + 0*0 + 1*1 = 1$

よって、

$u_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{0}{1}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

次に、各ベクトルを正規化する。

$e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{bmatrix}$

$e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{1}}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0}}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

正規直交基底は、

$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$