$a$ を定数とする。二つの不等式 $2(3x-4)-1 > -3(2x+11)$ と $4x+2a < 3x+2$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。二つの不等式

$2(3x-4)-1 > -3(2x+11)$ と $4x+2a < 3x+2$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

不等式1: $2(3x-4)-1 > -3(2x+11)$

$6x - 8 - 1 > -6x - 33$

$12x > -24$

$x > -2$

不等式2: $4x+2a < 3x+2$

$x < -2a + 2$

したがって、不等式を両方満たす $x$ の範囲は $-2 < x < -2a+2$ です。

この範囲に含まれる整数 $x$ がちょうど3個となる条件を考えます。

$x$ は $-1, 0, 1$ の3つの整数をとるとき条件を満たします。したがって、$1 < -2a+2 \leq 2$ である必要があります。

$1 < -2a+2 \leq 2$ を解きます。

まず、$1 < -2a+2$ より

$2a < 1$

$a < \frac{1}{2}$

次に、$-2a+2 \leq 2$ より

$-2a \leq 0$

$a \geq 0$

したがって、$0 \leq a < \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \leq a < \frac{1}{2}$