問題は３つあります。 1. a>0, b>0として、次の計算をしなさい。 (1) $2^7 \times 3^4 \times 6^{-4}$ (2) $\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[3]{\sqrt{a}} \times \sqrt[6]{a}$ (3) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$ (4) $(32)^{\frac{2}{5}}$ (5) $\sqrt[3]{-1}$ (6) $2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16}$

1. 問題の内容

問題は３つあります。

1. a>0, b>0として、次の計算をしなさい。

(1) $2^7 \times 3^4 \times 6^{-4}$

(2) $\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[3]{\sqrt{a}} \times \sqrt[6]{a}$

(3) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$

(4) $(32)^{\frac{2}{5}}$

(5) $\sqrt[3]{-1}$

(6) $2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16}$

2. $16^x = 4$ を満たす $x$ の値を求めなさい。

3. 次の数を小さい順に並べなさい。

$0.3^2, 0.3^{-3}, (0.3)^0, 0.3^4$

2. 解き方の手順

1. (1) $2^7 \times 3^4 \times 6^{-4} = 2^7 \times 3^4 \times (2 \times 3)^{-4} = 2^7 \times 3^4 \times 2^{-4} \times 3^{-4} = 2^{7-4} \times 3^{4-4} = 2^3 \times 3^0 = 8 \times 1 = 8$

(2) $\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[3]{\sqrt{a}} \times \sqrt[6]{a} = a^{\frac{2}{4}} \times a^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{6}} \times a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$

(3) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \times a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{1}{2}} + (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + 2 \times a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} + a^{-1} = a + 2 \times a^0 + \frac{1}{a} = a + 2 + \frac{1}{a}$

(4) $(32)^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$

(5) $\sqrt[3]{-1} = -1$

(6) $2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2^4} = 2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} = 0$

2. $16^x = 4$

$(4^2)^x = 4$

$4^{2x} = 4^1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

3. $0.3^2 = 0.09$

$0.3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{1000}{27} \approx 37.037$

$(0.3)^0 = 1$

$0.3^4 = 0.0081$

$0.3^4 < 0.3^2 < (0.3)^0 < 0.3^{-3}$

3. 最終的な答え

4. (1) 8

(2) $a^{\frac{5}{6}}$

(3) $a + 2 + \frac{1}{a}$

(4) 4

(5) -1

(6) 0

5. $x = \frac{1}{2}$

6. $0.3^4, 0.3^2, (0.3)^0, 0.3^{-3}$