$x, y, z$ は実数とする。次の条件のうち、$x=y$ と同値なものをすべて選ぶ。 (1) $x+z = y+z$ (2) $x^2 = y^2$ (3) $(x-y)^2 = 0$

1. 問題の内容

$x, y, z$ は実数とする。次の条件のうち、$x=y$ と同値なものをすべて選ぶ。

(1) $x+z = y+z$

(2) $x^2 = y^2$

(3) $(x-y)^2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x+z = y+z$ について。

両辺から $z$ を引くと、 $x = y$ となる。

したがって、$x+z = y+z$ ならば $x=y$ が成り立つ。

逆に、$x=y$ ならば $x+z = y+z$ が成り立つ。

したがって、(1)は $x=y$ と同値である。

(2) $x^2 = y^2$ について。

$x^2 - y^2 = 0$ と変形できる。

$(x-y)(x+y) = 0$

したがって、$x-y=0$ または $x+y=0$ となる。

$x = y$ または $x = -y$ となる。

$x=y$ ならば $x^2 = y^2$ は成り立つ。

しかし、$x^2 = y^2$ ならば $x=y$ とは限らない（$x=-y$ の場合がある）。

例えば、$x=2, y=-2$ のとき、$x^2 = 4, y^2 = 4$ であり、$x^2 = y^2$ だが $x \neq y$ である。

したがって、(2)は $x=y$ と同値ではない。

(3) $(x-y)^2 = 0$ について。

$(x-y)^2 = (x-y)(x-y) = 0$

したがって、$x-y = 0$ となる。

つまり、$x = y$ となる。

逆に、$x=y$ ならば $(x-y)^2 = (x-x)^2 = 0^2 = 0$ が成り立つ。

したがって、(3)は $x=y$ と同値である。

3. 最終的な答え

(1)と(3)