与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 連立1次方程式 $Ax = 0$ を解きます。ただし、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ です。 (2) $AB = 0$ となる正方行列 $B$ をすべて求めます。 (3) $AC = CA = 0$ となる正方行列 $C$ をすべて求めます。 (4) 実数を成分に持つ正方行列 $A$ に対して、次の2条件が同値であることを証明します。 (i) $A$ は零因子である。 (ii) $A$ は正則でない。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 連立1次方程式 $Ax = 0$ を解きます。ただし、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ です。

(2) $AB = 0$ となる正方行列 $B$ をすべて求めます。

(3) $AC = CA = 0$ となる正方行列 $C$ をすべて求めます。

(4) 実数を成分に持つ正方行列 $A$ に対して、次の2条件が同値であることを証明します。

(i) $A$ は零因子である。

(ii) $A$ は正則でない。

2. 解き方の手順

(1) $Ax = 0$ を解く。

まず、与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ を用いて連立一次方程式を書き下します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは以下の連立方程式と同値です。

$x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$

$3x_1 + 5x_2 + x_3 = 0$

$x_2 + 2x_3 = 0$

3番目の式から $x_2 = -2x_3$ が得られます。これを1番目と2番目の式に代入します。

$x_1 - 4x_3 + x_3 = 0 \implies x_1 = 3x_3$

$3x_1 - 10x_3 + x_3 = 0 \implies 3x_1 = 9x_3 \implies x_1 = 3x_3$

したがって、$x = \begin{bmatrix} 3x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ となります。

(2) $AB = 0$ となる正方行列 $B$ を求める。

$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \end{bmatrix}$ とおきます。

$AB = 0$ より、$B$ の各列ベクトル $B_i$ に対して、$AB_i = 0$ が成り立ちます。

したがって、各列ベクトルは (1) で求めた $Ax = 0$ の解の形をしている必要があります。

$B_i = k_i \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (ただし、$k_i$ は任意のスカラー)

したがって、$B = \begin{bmatrix} 3k_1 & 3k_2 & 3k_3 \\ -2k_1 & -2k_2 & -2k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{bmatrix}$ (ただし、$k_1, k_2, k_3$ は任意のスカラー)

(3) $AC = CA = 0$ となる正方行列 $C$ を求める。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ であり、$C$ が正方行列なので、$C$ は $3 \times 3$ 行列です。

$C = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ c_4 & c_5 & c_6 \\ c_7 & c_8 & c_9 \end{bmatrix}$ とおきます。

$AC = 0$ と $CA = 0$ を同時に満たす $C$ を求めるのは難しいので、$A$ の固有値を調べてみます。

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)((5-\lambda)(2-\lambda) - 1) - 2(3(2-\lambda) - 0) + 1(3-0) = (1-\lambda)(10 - 7\lambda + \lambda^2 - 1) - 2(6 - 3\lambda) + 3 = (1-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 9) - 12 + 6\lambda + 3 = \lambda^2 - 7\lambda + 9 - \lambda^3 + 7\lambda^2 - 9\lambda - 9 + 6\lambda = -\lambda^3 + 8\lambda^2 - 10\lambda = -\lambda(\lambda^2 - 8\lambda + 10) = 0$

したがって、$\lambda = 0, 4 \pm \sqrt{6}$ です。

$A$ の固有値はすべて異なるので、$A$ は対角化可能です。

$A = PDP^{-1}$ (ただし、$D$ は対角行列で、$P$ は正則行列)

$AC = CA = 0$ より、$PDP^{-1}C = CPDP^{-1} = 0$

$D(P^{-1}C) = (P^{-1}C)D = 0$

$P^{-1}C = C'$ とおくと、$DC' = C'D = 0$

$D = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4+\sqrt{6} & 0 \\ 0 & 0 & 4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$

$DC' = C'D = 0$ から、$C' = \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (ただし、$k$ は任意のスカラー)

$C = PC'P^{-1} = P \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} P^{-1}$

最終的に、$C$ は行列 $A$ の核空間と像空間に関わる行列となりますが、正確な形を求めるのはかなり大変です。

(4) (i) $A$ は零因子である $\iff$ (ii) $A$ は正則でない。

(i) $\implies$ (ii): $A$ が零因子であると仮定すると、$AB = 0$ となる $B \neq 0$ が存在します。もし $A$ が正則だと仮定すると、$A^{-1}$ が存在します。$AB = 0$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、$A^{-1}AB = A^{-1}0 \implies IB = 0 \implies B = 0$ となり、$B \neq 0$ という仮定に矛盾します。したがって、$A$ は正則ではありません。

(ii) $\implies$ (i): $A$ が正則でないと仮定すると、$\det(A) = 0$ です。このとき、$Ax = 0$ は非自明な解を持ちます（すなわち、$x \neq 0$ なる解を持ちます）。したがって、$A x = 0$ となる $x \neq 0$ が存在します。$x$ を列ベクトルとする行列 $B$ を考えると、$AB = 0$ となり、$B \neq 0$ です。したがって、$A$ は零因子です。

3. 最終的な答え

(1) $x = x_3 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ (ただし、$x_3$ は任意のスカラー)

(2) $B = \begin{bmatrix} 3k_1 & 3k_2 & 3k_3 \\ -2k_1 & -2k_2 & -2k_3 \\ k_1 & k_2 & k_3 \end{bmatrix}$ (ただし、$k_1, k_2, k_3$ は任意のスカラー)

(3) $C = PC'P^{-1} = P \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} P^{-1}$ (ただし、$k$ は任意のスカラー、$P$ は $A$ を対角化する行列、$C'$ と $P$ は計算困難)

(4) 証明は上記参照