$x, y$ は実数とする。以下の (1) から (3) のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」のいずれであるかを答える問題です。 (1) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための \_\_\_ 条件である。 (2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための \_\_\_ 条件である。 (3) $x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための \_\_\_ 条件である。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。以下の (1) から (3) のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」のいずれであるかを答える問題です。

(1) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための \_\_\_ 条件である。

(2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための \_\_\_ 条件である。

(3) $x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための \_\_\_ 条件である。

2. 解き方の手順

(1) $x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための \_\_\_ 条件である。

まず、$x = -2$ ならば $x^2 = (-2)^2 = 4$ なので、$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための十分条件です。

次に、$x^2 = 4$ ならば $x = \pm 2$ なので、$x = -2$ とは限りません。よって、$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$x = -2$ は $x^2 = 4$ であるための十分条件です。

(2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための \_\_\_ 条件である。

$x > 1$ ならば $x > 0$ なので、$x > 0$ は $x > 1$ であるための必要条件です。

しかし、$x > 0$ でも $x > 1$ とは限りません。例えば、$x = 0.5$ のとき、$x > 0$ ですが、$x > 1$ ではありません。よって、$x > 0$ は $x > 1$ であるための十分条件ではありません。

したがって、$x > 0$ は $x > 1$ であるための必要条件です。

(3) $x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための \_\_\_ 条件である。

$x = y$ ならば $(x-y)x = (x-x)x = 0 \cdot x = 0$ なので、$x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための十分条件です。

$(x-y)x = 0$ ならば、$x-y=0$ または $x = 0$ が成り立ちます。

$x-y=0$ の場合は $x=y$ です。しかし、$x=0$ の場合は $0-y=0$ でなくても $(0-y)\cdot 0 = 0$ が成り立つので、例えば $x=0, y=1$ の場合も $(x-y)x = (0-1) \cdot 0 = 0$ となります。したがって、$x = y$ とは限りません。よって、$x=y$ は $(x-y)x = 0$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$x = y$ は $(x-y)x = 0$ であるための十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 十分

(2) 必要

(3) 十分