$x, y$ は実数とする。$x^2 + y^2 = 0$ は $xy = 0$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、必要条件でも十分条件でもない、のうちどれであるかを答える問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。$x^2 + y^2 = 0$ は $xy = 0$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、必要条件でも十分条件でもない、のうちどれであるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow xy = 0$ について考える。

$x, y$ は実数なので、$x^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ である。

したがって、$x^2 + y^2 = 0$ が成り立つのは、$x^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のとき、つまり $x = 0$ かつ $y = 0$ のときに限られる。

このとき、$xy = 0 \times 0 = 0$ となる。

よって、$x^2 + y^2 = 0$ ならば $xy = 0$ は真である。

したがって、$x^2 + y^2 = 0$ は $xy = 0$ であるための十分条件である。

(2) $xy = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 0$ について考える。

$xy = 0$ は、$x = 0$ または $y = 0$ を意味する。

例えば、$x = 0$ かつ $y = 1$ のとき、$xy = 0 \times 1 = 0$ であるが、$x^2 + y^2 = 0^2 + 1^2 = 1 \neq 0$ となる。

したがって、$xy = 0$ ならば $x^2 + y^2 = 0$ は偽である。

したがって、$x^2 + y^2 = 0$ は $xy = 0$ であるための必要条件ではない。

(3) (1)と(2)より、$x^2 + y^2 = 0$ は $xy = 0$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

3. 最終的な答え

②