$x, y, z$ は実数とします。次の3つの条件のうち、$x = y$ と同値な条件をすべて選んでください。 (1) $x + z = y + z$ (2) $x^2 = y^2$ (3) $(x - y)^2 = 0$

1. 問題の内容

$x, y, z$ は実数とします。次の3つの条件のうち、$x = y$ と同値な条件をすべて選んでください。

(1) $x + z = y + z$

(2) $x^2 = y^2$

(3) $(x - y)^2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x + z = y + z$ の場合：

両辺から $z$ を引くと、$x = y$ となります。したがって、$x + z = y + z$ は $x = y$ と同値です。

(2) $x^2 = y^2$ の場合：

$x^2 - y^2 = 0$ と変形できます。これは $(x - y)(x + y) = 0$ と因数分解できます。

この式が成り立つのは、$x = y$ または $x = -y$ のときです。

したがって、$x^2 = y^2$ は $x = y$ と同値ではありません。例えば、$x = -y$の場合、$x^2 = y^2$が成り立ちますが、$x = y$とは限りません。

例: $x=2$, $y=-2$の時、$x^2=4$、$y^2=4$なので$x^2=y^2$が成り立ちますが、$x=y$ではありません。

(3) $(x - y)^2 = 0$ の場合：

$(x - y)^2 = 0$ の平方根をとると、$x - y = 0$ となります。

これは $x = y$ と同値です。

3. 最終的な答え

$x=y$と同値な条件は、(1)と(3)です。