問題6では、与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する必要があります。問題7では、2つの2次方程式 $x^2 - a^2x - a = 0$ と $x^2 + ax - 1 = 0$ があり、前者の解にそれぞれ1を加えたものが後者の解と等しいとき、定数 $a$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題6では、与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解する必要があります。問題7では、2つの2次方程式 $x^2 - a^2x - a = 0$ と $x^2 + ax - 1 = 0$ があり、前者の解にそれぞれ1を加えたものが後者の解と等しいとき、定数 $a$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

問題6：

(1) $x^2 - 2x - 1$ の因数分解

2次方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(2) $x^2 + 2x + 5$ の因数分解

2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i$

よって、$x^2 + 2x + 5 = (x - (-1 + 2i))(x - (-1 - 2i)) = (x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i)$

(3) $2x^2 - 3x + 4$ の因数分解

2次方程式 $2x^2 - 3x + 4 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

よって、$2x^2 - 3x + 4 = 2(x - (\frac{3 + i\sqrt{23}}{4}))(x - (\frac{3 - i\sqrt{23}}{4}))$

問題7：

$x^2 - a^2x - a = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とする。

$x^2 + ax - 1 = 0$ の解は $\alpha + 1, \beta + 1$ となる。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = a^2$

$\alpha \beta = -a$

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = -a$

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -1$

$\alpha + \beta + 2 = -a$

$a^2 + 2 = -a$

$a^2 + a + 2 = 0$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = -1$

$-a + a^2 + 1 = -1$

$a^2 - a + 2 = 0$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

$a^2 + a + 2 = 0$ かつ $a^2 - a + 2 = 0$ を満たす $a$ を求める。

2式を辺々引くと、

$2a = 0$

$a = 0$

$a=0$を$a^2+a+2=0$ に代入すると、$2=0$ となり不適。

$a=0$を$a^2-a+2=0$ に代入すると、$2=0$ となり不適。

$\alpha + \beta = a^2$, $\alpha\beta = -a$

$\alpha+1 + \beta+1 = -a$, $(\alpha+1)(\beta+1) = -1$

$\alpha+\beta+2 = -a \implies a^2 + 2 = -a \implies a^2+a+2=0$

$\alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -1 \implies -a + a^2 + 1 = -1 \implies a^2 - a + 2 = 0$

この2つの条件を満たす$a$ は存在しない。

$\alpha, \beta$を入れ替えても同じ結果になるので、問題文に誤りがある。

もし、$x^2 + ax - 1=0$ の2つの解から1を引いたものが$x^2 - a^2x - a = 0$の解である場合、

$\alpha-1+\beta-1=-a \implies a^2 - 2 = -a \implies a^2+a-2=0 \implies (a+2)(a-1)=0 \implies a = -2, 1$

$(\alpha-1)(\beta-1)=-a \implies \alpha\beta -(\alpha+\beta)+1 = -a \implies -a-a^2+1=-a \implies a^2=1 \implies a = \pm 1$

$a=1$のとき

$x^2 - x - 1 = 0, x^2 + x - 1 = 0$

$x^2 - x - 1=0$の解は$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

$x^2 + x - 1=0$の解は$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1-\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

$a=1$

3. 最終的な答え

問題6：

(1) $(x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(2) $(x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i)$

(3) $2(x - (\frac{3 + i\sqrt{23}}{4}))(x - (\frac{3 - i\sqrt{23}}{4}))$

問題7：

$a = 1$