与えられた4つの和の式を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$ (4) $\sum_{k=1}^{n-1} 2k$

1. 問題の内容

与えられた4つの和の式を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$

(4) $\sum_{k=1}^{n-1} 2k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k-5)$

$\sum_{k=1}^{n} (4k-5) = 4\sum_{k=1}^{n} k - 5\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$4\sum_{k=1}^{n} k - 5\sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = 2n(n+1) - 5n = 2n^2 + 2n - 5n = 2n^2 - 3n$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 7n(n+1) + 8n}{2} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]}{2} = \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]}{2} = \frac{n(2n^2 - 4n + 2)}{2} = \frac{2n(n^2 - 2n + 1)}{2} = n(n-1)^2 = n(n^2 - 2n + 1) = n^3 - 2n^2 + n$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)[n(n+1) + 2]}{4} = \frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4}$

(4) $\sum_{k=1}^{n-1} 2k$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、

$2\sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1) = n^2 - n$

3. 最終的な答え

(1) $2n^2 - 3n$

(2) $n^3 - 2n^2 + n$

(3) $\frac{n(n+1)(n^2 + n + 2)}{4}$

(4) $n^2 - n$