問題5は、複素数 $z$ の絶対値が1、偏角が $\frac{\pi}{6}$ のとき、$\frac{z^8+1}{z^4}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5は、複素数 $z$ の絶対値が1、偏角が $\frac{\pi}{6}$ のとき、$\frac{z^8+1}{z^4}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$z$ の極形式を $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とすると、$r = 1$ かつ $\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、

$z = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}$ となります。

ド・モアブルの定理より、

$z^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ が成り立ちます。

したがって、

$z^4 = \cos \frac{4\pi}{6} + i \sin \frac{4\pi}{6} = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$z^8 = \cos \frac{8\pi}{6} + i \sin \frac{8\pi}{6} = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{z^8+1}{z^4} = \frac{(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1}{-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})}{(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{-\frac{1}{4} - i\frac{\sqrt{3}}{4} + i \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{-1}{1} = -1$

3. 最終的な答え

$\frac{z^8+1}{z^4} = -1$