不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ の表す領域を $D$ とします。 (1) 領域 $D$ を $xy$ 平面上に図示してください。 (2) 点 $(x, y)$ が領域 $D$ を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めてください。

1. 問題の内容

不等式 $3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$ の表す領域を $D$ とします。

(1) 領域 $D$ を $xy$ 平面上に図示してください。

(2) 点 $(x, y)$ が領域 $D$ を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値を求めてください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解します。

$3x^2 + 7xy + 2y^2 - 9x - 8y + 6 \le 0$

$(3x+y-3)(x+2y-2) \le 0$

この不等式を満たす領域は、以下の2つの不等式を満たす領域の和集合です。

1. $3x + y - 3 \ge 0$ かつ $x + 2y - 2 \le 0$

2. $3x + y - 3 \le 0$ かつ $x + 2y - 2 \ge 0$

これらの不等式をそれぞれ変形すると次のようになります。

1. $y \ge -3x + 3$ かつ $y \le -\frac{1}{2}x + 1$

2. $y \le -3x + 3$ かつ $y \ge -\frac{1}{2}x + 1$

これらの領域を図示すると、画像にある斜線部分になります。

次に、$x^2 + y^2$ の最小値を求めます。$x^2 + y^2 = k$ とおくと、$k$ は原点中心の円の半径の2乗を表します。

$k$ が最小となるのは、円が領域 $D$ と初めて交わる点です。領域$D$の境界線は、$y = -3x + 3$ と $y = -\frac{1}{2}x + 1$ です。

$x^2+y^2$が最小となるのは、２つの直線の交点である可能性が高いです。

$-3x+3 = -\frac{1}{2}x + 1$ を解くと、

$-6x+6 = -x + 2$

$-5x = -4$

$x = \frac{4}{5}$

$y = -3(\frac{4}{5})+3 = -\frac{12}{5} + \frac{15}{5} = \frac{3}{5}$

交点座標は $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$

2直線の交点での$x^2+y^2$は $(\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$

$3x + y - 3 = 0$と$x^2 + y^2 = k$が接するとき、$y = -3x + 3$なので、$x^2 + (-3x+3)^2 = k$

$x^2 + 9x^2 - 18x + 9 = k$

$10x^2 - 18x + (9-k) = 0$

判別式 $D = (-18)^2 - 4(10)(9-k) = 0$

$324 - 360 + 40k = 0$

$40k = 36$

$k = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} = 0.9$

接点のx座標は$x = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

$y = -3(\frac{9}{10}) + 3 = \frac{3}{10}$

$x + 2y - 2 = 0$と$x^2 + y^2 = k$が接するとき、$x = -2y + 2$なので、$(-2y+2)^2 + y^2 = k$

$4y^2 - 8y + 4 + y^2 = k$

$5y^2 - 8y + (4-k) = 0$

判別式 $D = (-8)^2 - 4(5)(4-k) = 0$

$64 - 80 + 20k = 0$

$20k = 16$

$k = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8$

接点のy座標は$y = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$x = -2(\frac{4}{5}) + 2 = \frac{2}{5}$

よって、領域 $D$ を動くとき、$x^2 + y^2$ の最小値は $x=\frac{2}{5},y=\frac{4}{5}$のとき、$x^2 + y^2 = (\frac{2}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{4}{25} + \frac{16}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{2}{5}$, $y = \frac{4}{5}$のとき、最小値 $\frac{4}{5}$