与えられた4つの分数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ (3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 1}$ (4) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの分数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 1}$

(4) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、各分数の分母の共役な複素数を分子と分母に掛けます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ です。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ です。

したがって、

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 1}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{5} - 1$ です。

したがって、

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ です。

したがって、

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5 + 2\sqrt{10} + 2}{5 - 2} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$